254. Integrale, die sich auf die quadratische Irrationalität zurückführen lassen 69 
254. Integrale, die sich auf die quadratische Irrationali 
tät zurückführen lassen. Eine weitere Form von Integralen irratio 
naler Funktionen geht aus 
J fix, y, 8)dx (32) 
hervor, worin f eine rationale Funktion der Argumente x, y, z anzeigt und 
y % = ax b, z 2 = a x -\-V =t= y) ist. (33) 
Man führt an Stelle von x eine der Größen y, z als Integrations 
variable ein; wird y hierfür gewählt, so ist 
if-b 
dx = 
2ydy o a 9 . ab' — ab 
——, z 2 =— if-\ 
a ’ a J a 
und 
/V a a,y 3+ai ~-) , J d y- 
Hiermit erscheint das Integral auf den in 250 und den folgenden Arti 
keln erledigten Fall zurückgeführt, da es sich jetzt um eine quadratische 
Irrationalität, bezogen auf eine ganze Funktion zweiten Grades, handelt. 
Beispiel. Das Integral 
fv l 
— x dx 
x x 
kann ohne Einführung einer neuen Variablen, nämlich durch die Umge 
staltung /* (1 — x) dx 
J X ]/(1 — x) X 
auf die früher behandelte Form gebracht werden; die weitere Berechnung 
hätte nach den Formeln 251, (21) und 253, 1. zu geschehen. 
Wendet man hingegen die Substitution 
1 — x = y 2 
y*dy 
(yt—Vyi — y* 
an, so wird 
/lÄ— — = 2 / 
J V X X J (j 
= 2 f d l L2 f dy 
J Vi -y* J (2/ 2 -i)l/T 
y' 
das erste Integral rechts führt auf arcsin y, das zweite zerfällt durch 
Zerlegung der gebrochenen Funktion y t]_ 1 in Partialbrüche in zwei 
Integrale, deren Werte aus 253, 4. entnommen werden können; es ist 
nämlich