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II. Abschnitt. § 2. Integration irrationaler Funktionen 
2. Bei dem Integral 
ist die Bedingung (A) nicht, wohl aber die Bedingung (B) erfüllt, weil 
■~^j~ 1 = 0 als ganze Zahl aufzufassen ist. Man forme daher das In 
tegral zuerst um in C- x s dx i* x 1 dx 
x s dx 
x~ 1 dx 
x i ]/x~ H -j- 1 J }/i 
x~ 8 -f- 1 = 
'x~ 8 -j- 1 
und setze dann 
daraus folgt 
O 
x~ 8 — t* — 1, — 4 x~^dx = tdt, x~ 1 dx = — —: 
7 7 4(i*— 1) 7 
somit ist 
l 
J 
l (x 4, -f y 1 + X s ) -f C. 
Man bemerke übrigens, daß das yorgelegte Integral auch durch die 
Substitution x^=z auf die Formel 252, (26) hätte zurückgeführt wer 
den können. 
256. Reduktionsformeln. Den Integralen binomischer Differen 
tiale kommt die Eigenschaft zu, daß sie sich durch andere Integrale der 
selben Art mit geändertem p oder m oder p und m ausdrücken lassen. 
Insbesondere läßt sich immer bewirken , daß p ein echter Bruch und m 
dem Betrage nach kleiner als n wird. Man macht von diesen Umformun 
gen zweckmäßig auch dann Gebrauch, wenn eine der Integrabilitätsbedin- 
gungen (A), (B) erfüllt ist, um nicht durch unmittelbare Rationalisierung 
zu komplizierte Funktionen zu erhalten. 
Die TleduJitionsformdn, welche allen Bedürfnissen genügen, sind nach 
stehend abgeleitet. 
1. Durch partielle Integration mit der Zerlegung 
u = (ax n -f- b) p , dv = x m dx 
ergibt sich 
(I) 
x m + x {ax n b) p np a 
Jx m+n (ax n + b) p ~ 1 dx, (m -j- 1 =j= 0). 
m-j- 1 m -f ■ 1 
Kehrt man die Formel um und erhöht gleichzeitig p um 1, vermin 
dert m um n, so kommt