258. Zurückfiihrung auf algebraische Integrale 
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Ist nämlich (p(x) eine algebraische Funktion, deren Integral <D(x) auch 
algebraisch ist, und y(x) eine transzendente Funktion, deren Differential 
algebraisch ist, so gibt n 
I cp(x) f(x) dx 
bei partieller Integration mit der Zerlegung 
u = i(j(x), clv = cp(x) dx: 
f cp(x) ip(x) dx = 0(x) (x) —' f l>(x) i> (x) dx, (1) 
und das linksstehende Integral mit transzendentem Differential ist somit 
auf das rechtsstehende, welches auf eine algebraische Funktion sich be 
zieht, zurückgeführt. 
Der besprochene Fall tritt beispielsweise ein, wenn (p{x) eine ratio 
nale ganze Funktion und 
ip(x) = lco(x), arcsin co (x), arctg cß(x), 
wobei a(x) eine algebraische Funktion ist: denn dann ist sowohl Q(x) 
wie auch 
= 
co (X) 
co' (x) 
1 4- co(xf 
,n + 1 
dx 
co(x) ’ ]/i _ co(xy 
eine algebraische Funktion. 
ö 
Beispiele. 1. Es ist 
Jx-lix + VT+^dx-^lix + yi+i, n + lj 
das rechtsstehende Integral bezieht sich auf ein binomisches Differential, 
das bei ganzzahligem n immer integrabel ist. 
2. Zu einem analogen Resultate führt 
f 
ß 
x n arcsin xdx = 
x n + l 
F+T * 
arcsin x 
> f 
« + 1 J 
n + 1 
dx 
insbesondere ist (235, 2.) 
Jx arcsin xdx = arcsin x J* 
-fhi 
Yi 
x*dx 
y\ — x* 
—2 2ar — 1 . n 
x £ -] — arcsin x -f 6. 
fv n arct g xdx = ~qn arct §' x - n \. I j T 
3. Durch die Formel 
" w + 1 d# 
+ X- 
ist das linksstehende Integral bei rationalem n auf das einer algebraischen 
stets integrierbaren Funktion, bei ganzem positiven n insbesondere auf 
die Form 246, 3. zurückgeführt.