158 
Perspektivität ebener Figuren. Harmonische Gebilde. 
Das Doppelverhältnis zweier perspektiver Punktreihen 
ABC1) und A 1 B 1 C 1 H 1 hat den gleichen Wert: 
{ABCH) = {A^^HJ. 
Hierzu kommt der Satz: Durch Angabe des Doppelverhält- 
nisses {ABCH) ist, wenn drei der Punkte, etwa A, B, C ge 
geben sind, der vierte H auf ihrer Verbindungslinie ein 
deutig bestimmt. Denn ist l der Wert von {ABCH), so ist 
durch die Bedingung 
AD _ AG, . 
BD~~ ~BG ' K 
das Verhältnis der Abstände des Punktes H von den festen Punkten 
A und B mithin H selbst festgelegt. Aus der Verbindung beider 
Resultate folgt: 
Damit zwei Punktreihen ABCH und A^B^G^H^ in Per 
spektive Lage gesetzt werden können, ist notwendig und 
hinreichend, daß die entsprechenden Doppelverhältnisse 
gleich sind. 
331. Für die Bildung des Doppelverhältnisses ist eine bestimmte 
Reihenfolge der Punkte ABCH zu Grunde zu legen. Wird 
diese abgeändert, so ändert sich im allgemeinen der Wert des 
Doppelverhältnisses. Bei gewissen Vertauschungen der vier Punkte 
aber bleibt der Wert ungeändert. Man hat nämlich; 
AG . AD _ BD_ ' BG _ _CA , CB _ DB _ DA 
BO 1 BD~ AD : AG " DA : DB ~ CB '' GA 
oder {ABCH) = {BAHC) = {GH AB) = {HCBA). 
Es tritt also keine Änderung ein, wenn man die Punkte des Paares 
A, B und gleichzeitig die des Paares C, H miteinander vertauscht, 
oder wenn man die Paare vertauscht, oder wenn man beides zu 
gleich ausführt. Den 24 möglichen Anordnungen der vier Punkte 
entsprechen daher nicht ebensoviele sondern nur sechs Doppel 
verhältniswerte. Man erhält dieselben, indem man die Anord 
nungen ABCH, ABHC, ACBH, ACHB, AHBC, AHCB, 
oder die mit ihnen äquivalenten, zu Grunde legt. — Hieraus ist 
zu schließen; 
Sind vier Elemente zweier Punktreihen ABCH und 
A 1 B 1 C 1 H 1 auf irgend eine Weise projektiv, so sind sie es 
im ganzen auf vier Arten. Es kann nämlich die Punktreihe 
A 1 B 1 C l H 1 der Reihe nach zu 
ABCH, BAHC, CHAB, HCBA 
in Perspektive Lage gebracht werden.