Perspektivüät ebener Figuren. Harmonische Gebilde. 
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ihnen per- 
(Fig. 154). 
en Gegen- 
Reihe aus; 
ein Punkt 
he Strecke 
ift, so be- 
r entspre- 
kt P x die 
ecke A x B y 
ei den bei 
genannten 
'en: hier 
ie Strecke 
unkt ihrer 
durchläuft 
■»trecke ÄC, 
bt P 1 den 
recke A x C x 
enen Teil 
. Man er- 
giebt es 
den End- 
ander die 
Strecken; 
e Strecke 
. den ent- 
izten un- 
r und der- 
3-eraden so 
t werden, 
e Gegen- 
G v und G m 
nderfallen. 
sind noch 
igen mög- 
id gleichen 
Strecken des ersten Systems verkehrt aufeinander (z. B. fällt B 1 A 1 
auf AB, C 1 B 1 auf BC, u. s. f.); entsprechende Strecken haben ent 
gegengesetzte Richtung. Bei der anderen Lage (Fig. 155 b) fallen 
die Endpunkte der gleichen Strecken des zweiten Systems verkehrt 
aufeinander (z. B. fällt C x auf A und A x auf C, P) x auf B und B x 
auf P), u. s. f), aber jeder endlichen Strecke (in der einen Reihe) 
entspricht die von ihr ausgeschlossene unendliche Strecke (in der 
anderen Reihe); entsprechende Strecken sind dabei gleichgerichtet. 
In beiden Fällen findet zwischen den Punkten auf dem gemeinsamen 
Träger ein vertauschbares (doppeltes) Entsprechen statt, d. h. 
wenn einem Punkte P als Original P 1 als Bild entspricht, so ent 
spricht dem mit P x vereinten Punkte Q als Original der mit P ver 
einte Punkt Q x als Bild. 
330. Man nennt die beiden Perspektiven Punktreihen in ihrer 
neuen Lage involutorisch und ihre Vereinigung eine Involution 
von Punkten. Aus der Vereinigung der Gegenpunkte G v und G x 
entsteht der Mittelpunkt der Involution. In dem ersten der obigen 
Fälle heißen die involutorischen Reihen ungleichlaufend, im zweiten 
Palle gleichlaufend. 
Aus der gegebenen Konstruktion folgt unmittelbar: Zwei Per 
spektive Punktreihen liegen nach ihrer Vereinigung auf 
einer Geraden involutorisch, wenn es ein Paar getrennter 
Punkte giebt, die einander vertauschbar entsprechen. 
331. Ferner ergiebt sich: Bei zwei ungleichlaufenden in- 
volutorisclien Punktreihen fallen zwei Paare entsprechen 
der Punkte U und U x , V und V x zusammen; sie ergeben die 
sich selbst entsprechenden Punkte oder Doppelpunkte der 
Involution, Bei zwei gleichlaufenden involutorischen 
Punktreihen giebt es solche Punkte nicht. 
Man kann die Doppelpunkte aus der ursprünglichen Perspektiven 
Lage der beiden Reihen konstruieren. Sind nämlich U und U x 
zwei Perspektive Punkte, so ist (Fig. 154): 
A OG m L\ A UG v O 
mithin: 
Goo '■ Ga, 0 = OG v : UG V . 
Sollen daher U und U x — wie es hier erfordert wird — resp. vom 
Gegenpunkte ihrer Reihe den gleichen Abstand haben, so hat man; 
G x U x = UG V = ]/ OG v -Go, 0 
zu nehmen. Trägt man also die mittlere Proportionale der Strecken 
OG v und G^O von G v resp. G& nach beiden Seiten ab, so findet 
man zwei Paare von Punkten U und U v F und V v die der ge 
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