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Die Kegelschnitte als Kreisprojektionen. 
Strahlen irgend eines die gedachten Punkte projizierenden Büschels, 
dessen Scheitel S auf dem Kreise liegt (Fig. 185). 
374. Wir stellen diesem Satze einen zweiten gegenüber, dessen 
Beweis sich auf den folgenden elementaren Satz stützt. Die 
Strahlen, welche von den 
Schnittpunkten A x und A 2 einer 
beliebigen Tangente a mit 
zwei festen Tangenten t x und 
t 2 eines Kreises nach dessen 
Mittelpunkt M gezogen sind, 
schließen gleiche oder sich zu 
2R ergänzende Winkel ein. In 
der That, sind A, T x , T 2 die Be 
rührungspunkte der Tangenten a. 
t,, t 9 (Fig. 186), 'so ist: 
Z_ l\MA l = l. A X MA, 
z. ama 2 = z_ a 2 mt 2 
und folglich: z_ A X MA 2 — \ Z_ T X MT 2 . 
275. Alle Punktreihen, die von vier gegebenen Tan 
genten a, b, c, d eines Kreises auf irgend einer fünften 
Tangente t desselben 
ausgeschnitten werden, 
haben dasselbe Doppel 
verhältnis. 
Ist nämlich M das Cen 
trum und werden irgend 
zwei Tangenten t und t x des 
Kreises von den gegebenen 
Tangenten a, h, c, d resp. in 
A, I>, C, D und A v B V C X , D x 
geschnitten, so sind die 
Winkel z_ AMA X , l,BMB X , 
L_ CMC V z_ DMJ) X nach dem angeführten Hilfssatze sämtlich von der 
Größe a (oder 2 R — a) und folglich gelangt der Büschel der aus 
M nach A, B, C, D gezogenen Strahlen mit dem der Strahlen aus 
M nach A x , B x , C x , I) x (oder ihrer Verlängerungen) durch Drehung 
um den Winkel a zur Deckung. 
Auf Grund dieses Satzes darf mau von dem Doppelverhältnis 
(ahcd) von vier Tangenten eines Kreises sprechen und versteht 
darunter das Doppelverhältnis ihrer Schnittpunkte mit irgend einer 
fünften Kreistangente.