Die Kegelschnitte als Kreisprojektionen. 
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alle durch ihn gezogenen Paare harmonischer Polaren 
zwei gleichlaufende involutorische Büschel. 
Es genügt, den Beweis für den Pall eines Kreises zu geben, 
da die in Frage kommenden Eigenschaften unserer Figur bei jeder 
Centralprojektion erhalten bleiben. — Den inneren Punkt S und die 
nichtschneidende Gerade g (Fig. 195) fassen wir als Pol und Polare 
des Kreises auf. Zieht man durch S eine feste Sehne PQ und be 
liebige Sehnen XU, YV, . . ., so liegen die Gegenseitenschnittpunkte 
A und A v B und B x , ... der Vierecke PXQÜ, PYQV, . . , auf g 
und entsprechen sich vertauschbar als harmonische Pole des Kreises. 
Ebenso entsprechen sich die Strahlen a = SA X und a x = SA, b = SB x 
und h x = SB, ... als harmonische Polaren vertauschbar. Unsere 
Behauptungen sind daher (nach 230 und 235) erwiesen, sobald wir 
zeigen, daß die Punktreihen AB . . . und A X B X . . ., mithin auch die 
Strahlbüschel ah . . . und a x h x ... in Perspektive Lage gebracht 
werden können. Dies folgt aber aus der Kongruenz der beiden 
Strahlbüschel, die die betrachteten Punktreihen aus P resp. Q pro 
jizieren und zugleich über derselben Reihe von Punkten X, Y, . . . 
des Kreises stehen. 
Die Doppelstrahlen der Involution harmonischer Po 
laren durch einen Punkt S des Kegelschnittes liegen in 
der Tangente vereinigt. Die Doppelpunkte der Involution 
harmonischer Pole auf einer Tangente g fallen im Be 
rührungspunkte zusammen.