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Die Kegelschnitte als Kreisprojektionen. 
Die drei möglichen Fälle, daß die betreffende Gleichung zweiten 
Grades zwei reelle verschiedene, zwei reelle gleiche oder zwei kon 
jugiert imaginäre Wurzeln hat, entsprechen genau denen, wo sich 
auf konstruktivem Wege zwei getrennte, vereinte oder keine die 
Aufgabe befriedigenden Elemente finden lassen. Die nicht kon 
struierbaren, sondern nur analytisch definierten Lösungen werden 
aus Zweckmäßigkeitsgründen auch in der synthetischen Geometrie 
mitgezählt als imaginäre geometrische Elemente. 
Indem wir es als selbstverständlich ansehen, daß die beiden 
Lösungen einer Aufgabe zweiten Grades reell oder konjugiert imaginär 
sein, bezw. durch Koincidenz eine besondere reelle Lösung bestimmen 
können, wird es überflüssig, dies bei den einzelnen Sätzen aus 
drücklich hervorzuheben. Wir sagen also z. B.: 
Je zwei projektive einförmige Grundgebilde mit einerlei 
Träger bestimmen zwei Doppelelemente. 
Auf jeder Geraden der Durch jeden Punkt der 
Ebene liegen zwei Punkte Ebene gehen zwei Tangen- 
eines gegebenen Kegel- ten eines gegebenen Kegel 
schnittes. Schnittes. 
348. Konstruktiv sind nur reelle geometrische Elemente ver 
wendbar; wenn trotzdem von einer Konstruktion aus imaginären 
Elementen gesprochen wird, so ist dies nur eine abgekürzte Aus 
drucksweise. Man sieht dann nur reelle Elemente als gegeben an, 
die durch ihre Beziehung zu einander die imaginären ersetzen. 
Zwei konjugiert imaginäre 
Punkte werden durch hin 
reichend viele reelle Punkte 
paare gegeben, die auf der 
reellen Verbindungslinie 
zwei projektive (involuto- 
rische) Punktreihen mit den 
gedachten Punkten als Dop 
pelelementen bestimmen. 
Zwei konjugiert imaginäre 
Strahlen werden durch hin 
reichend viele reelle Strah 
lenpaare gegeben, die andern 
reellen Schnittpunkt zwei 
projektive (involutorische) 
Strahlbüschel mit den ge 
dachten Strahlen als Doppel 
elementen bestimmen. 
Die hierauf sich gründende Ausdrucksweise bietet außer ihrer 
Kürze den weiteren Vorteil, daß der Zusammenhang gewisser Sätze 
untereinander deutlicher erkennbar wird. Die Vergleichung der 
nachfolgenden Sätze und ihrer dualen mit den in 306 und 308 ge 
gebenen liefert Beispiele hierfür. 
349. Ein Kegelschnitt ist konstruierbar aus drei reellen 
Punkten A, JB, C und zwei konjugiert imaginären (d. h. der