Die Kegelschnitte als Kreisprojektionen. 247 
und Q reelle Doppelpunkte der auf FQ durch das Kegelschnitt- 
büschel bestimmten Involution, woraus die Behauptung folgt. 
Der duale Satz lautet: 
Je zwei in Bezug auf eine Kegelschnittschar konju 
gierte Strahlen/; und q liegen harmonisch zu den Tangenten 
aus ihrem Schnittpunkte an jeden einzelnen Kegelschnitt. 
373. Bisher haben wir einen Kegelschnittbüschel direkt durch 
seine Grundpunkte, eine Kegelschnittschar durch ihre Grundstrahlen 
definiert. Es soll nun gezeigt werden, daß man in beiden Fällen 
auch von zwei gegebenen Kegelschnitten ausgehen kann. Dies führt 
auf die Erörterung der wichtigen Frage nach den gemeinsamen 
Elementen zweier gegebener Kegelschnitte. 
Als gemeinsame Elemente zweier gegebener Kegelschnitte k 
und k x einer Ebene treten außer ihren Schnittpunkten und ge 
meinsamen Tangenten auf: 
a) Gerade als Träger gleicher Involutionen harmonischer 
Pole von h und k x (gemeinsame Sehnen); 
ß) Punkte als Träger gleicher Involutionen harmonischer 
Polaren; 
7) Seiten und Ecken des gemeinsamen Polardreiecks, 
d. h. Gerade und Punkte, deren Pole resp. Polaren in Bezug 
auf h und /¿ x übereinstimmen. 
Die Geraden gleicher Punktinvolution und die Punkte gleicher 
Strahleninvolution bilden Achsen resp. Centren der Perspek- 
tivität für die beiden Kegelschnitte, wenn in ersteren jeder äußere 
Punkt von k auch außerhalb \ liegt, an letzteren jeder k schneidende 
Strahl auch k x trifft (vergl. 356). 
873. Von den gemeinsamen Elementen gelten folgende Sätze. 
Zwei Kegelschnitte k und /¿ x haben vier Punkte gemein; 
die nicht reellen unter ihnen sind paarweise konjugiert 
imaginär. Jedes Paar reeller und jedes Paar konjugiert 
imaginärer gemeinsamer Punkte bestimmt eine reelle 
Gerade gleicher Punktinvolution (gemeinsame Sehne); von 
solchen Geraden giebt es entweder sechs oder zwei. 
Zwei Kegelschnitte k und /«/ haben vier Tangenten 
gemein; die nicht reellen unter ihnen sind paarweise kon 
jugiert imaginär. Jedes Paar reeller und jedes Paar kon 
jugiert imaginärer gemeinsamer Tangenten bestimmt einen 
reellen Punkt gleicher Strahleninvolution; von solchen 
giebt es entweder sechs oder zwei. 
Zwei Kegelschnitte h und k x haben ein gemeinsames