250 
Die Kegelschnitte als Kreisprojektionen. 
ein konjugierter Punkt Q, der Schnittpunkt seiner Polaren p und p 1 
bezüglich k und k v dessen Polaren q und q x sich umgekehrt in P 
schneiden. Fallen für einen Punkt P seine Polaren p und p x ■ zu 
sammen, so bildet er eine Ecke und p die Gegenseite des gemein 
samen Polardreiecks. In Bezug auf k entspricht einer Punktreihe 
auf dem Träger g ein mit ihr projektiver Polarenhüschel am Scheitel 
G und in Bezug auf k x ein projektiver Polarenhüschel am Scheitel 
Gj. Beide Strahlbüschel erzeugen einen Kegelschnitt g 0 , welcher 
der geometrische Ort der konjugierten Punkte der Punkte auf g ist. 
Die Punkte von g und g 0 entsprechen sich wechselseitig eindeutig. 
Sei nun h eine zweite Gerade, P ihr Schnittpunkt mit g und h 0 
der ihr entsprechende Kegelschnitt, Die Kurven g 0 und h 0 haben 
notwendig einen reellen Punkt gemein, nämlich den konjugierten 
Q zu P. Von ihren weiteren Schnittpunkten ist folglich wenigstens 
noch ein weiterer L reell, eventuell aber alle drei L, M, N. Einem 
reellen Schnittpunkt L von g 0 und h 0 aber entsprechen zwei kon 
jugierte Punkte, auf g und h je einer, folglich fallen seine beiden 
Polaren in ihre Verbindungslinie l zusammen und er bildet eine 
Ecke des gemeinsamen Polardreiecks von k und 7t r Die beiden 
anderen Ecken des letzteren M und N liegen auf l und sind (gleich 
viel ob reell oder imaginär) als das gemeinsame Paar der beiden 
Involutionen harmonischer Pole definiert, welche die Kegelschnitte 
k und k x auf l bestimmen. Hierdurch ist der dritte Satz in 873 
bewiesen. Die beiden letzten Ecken M und N sind gleichzeitig zu 
den Schnittpunkten K, JC, K v Kj von / mit k und mit /¿ 1 harmonisch, 
sie sind nur dann imaginär, wenn K und K' durch K x und Kj 
getrennt werden (vergl. 354), was auf den Fall d) zweier reeller 
Schnittpunkte von h und /¿ 1 führt. 
Beschreibt ein Punkt P eine Gerade g, die durch einen reellen 
Eckpunkt L des gemeinsamen Polardreiecks geht, so zerfällt der 
Kegelschnitt g Q der konjugierten Punkte in die Seite l des Polar 
dreiecks und eine zweite Gerade h die L enthält. Je zwei solche 
Strahlen g und h können konjugierte Strahlen am Scheitel L ge 
nannt werden; unter dieselben sind auch die Seiten m und n des 
Polardreiecks zu rechnen. Diese konjugierten Strahlen bilden am 
Scheitel L eine Involution, deren Doppelstrahlen Linien gleicher 
Punktinvolution oder gemeinsame Sehnen von k und k x bilden, so 
bald sie reell sind. 
377. Besitzen die Kegelschnitte k und k x eine Linie s gleicher 
Punktinvolution (gemeinsame Sehne), so muß dieselbe durch eine 
reelle Ecke des gemeinsamen Polardreiecks gehen. Denn ist S ihr