252 Die Kegelschnitte als Kreisprojektionen. 
ebenfalls im Innern des Dreiecks LMN, so entsprechen sich die 
Verbindungslinien von P und Q mit irgend einer Ecke des Polar 
dreiecks, sowie die in ihr zusammenstoßenden Seiten desselben 
als konjugierte Strahlen und bilden eine ungleichlaufende Involution, 
deren reelle Doppelstrahlen s und s' gemeinsame Sehnen von k und 
k x sind. Es giebt also dann sechs solche Sehnen. — Liegt Q 
außerhalb des endlichen Dreiecks LMN, so werden die Verbindungs 
linien von P und Q mit je einer Ecke P, M, N nur in einem Falle 
zugleich die Strecke zwischen den beiden anderen Ecken treffen 
und folglich mit den anstoßenden Seiten eine ungleichlaufende In 
volution bilden, so daß sich als deren reelle Doppelstrahlen nur 
zwei gemeinsame Sehnen ergeben. 
Hierdurch ist der erste Satz in 373 bewiesen und zugleich der 
zweite, welcher ihm als dualer entspricht. 
379. Aus dem Vorigen folgt der weitere Satz; 
Zwei Kegelschnitte k und k x einer Ebene liegen stets 
zu einander perspektiv und zwar, wenn ihre gemeinsamen 
Punkte und Tangenten sämtlich reell sind, auf zwölf Arten, 
in jedem anderen Falle auf vier Arten. 
Von zwei Linien gleicher Punktinvolution, die sich in einer 
Ecke des Polardreiecks treffen, gehört nämlich eine jede als Per- 
spektivitätsachse mit jedem der beiden Punkte gleicher Strahlen 
involution, die auf der Gegenseite liegen, als Perspektivitätscentrum 
zusammen. Zu jeder Achse oder auch zu jedem Centrum gehören 
also zwei Centralprojektionen, die k in k x überführen. 
380. Der letzte Satz umfaßt den in 238 angegebenen als 
Spezialfall. Man kann den jetzt entwickelten unter der Annahme, 
daß wenigstens zwei Schnittpunkte von k und 7t 1 imaginär sind, 
auf den früheren zurückführen. Denn ist s die reelle Verbindungs 
linie dieser imaginären Punkte, sind P und Q, P x und Q x auf ihr 
gemeinsame harmonische Pole und 0 ein Schnittpunkt der über 
den Durchmessern PQ und P 1 Q 1 geschlagenen Kreise, so führt jede 
Centralprojektion, für welche s die Verschwindungslinie und 0 das 
Centrum bildet, die beiden Kegelschnittte k und k x in zwei Kreise 
über. Denn da sich aus 0 alle Paare der gemeinsamen Involution 
auf .9 durch ßechtwinkelpaare projizieren, so gehen ihre Doppel 
punkte in die imaginären Kreispunkte auf der unendlich fernen 
Geraden über (vergl. 352). 
381. Außer den Polardreiecken oder Polardreiseiten eines 
Kegelschnittes betrachtet man zuweilen auch Polvierecke und Pol-, 
vierseite. Man definiert dieselben in folgender Weise: