Ebene und Rainnkurven.
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Mittelpunkte der Sehnen C\T) 1> C 2 B 2 . . . bilden eine Fehlerkurve,
die die gegebene Kurve in dem Fußpunkt B der gesuchten Normalen
schneiden muß. Da nämlich die Fehler
kurve der Ort der Mittelpunkte aller
Sehnen ist, die durch die Kreise um
den Mittelpunkt Ä bestimmt werden,
so muß der Kreis durch B die Kurve
in B berühren, sein Radius AB steht
also auf der Kreistangente in B, die
zugleich Kurventangente ist, senkrecht.
Man muß mindestens drei Hilfskreise
anwenden.
436. Sind die Punkte einer ebenen Kurve in irgend einer Weise
konstruierbar, so kommt dieses stets darauf hinaus, daß jeder solche
Kurvenpunkt als Schnittpunkt zweier Hilfskurven erscheint, und zwar
sind diese Hilfskurven in sehr vielen Fällen Gerade oder Kreise.
Es lässt sich nun eine genaue Tangentenkonstruktion bei
einer ebenen Kurve auf die zur Bestimmung ihrer Punkte
verwendeten Hilfskurven gründen.
Seien P 1 und P 2 zwei Punkte unserer Kurve c, seien ferner k v L
Fig. 289.
die Hilfskurven durch P 1 und
k 2 , / 2 diejenigen durch P 2 , und zwar
der Art, daß bei einem stetigen Uebergange von P 2 in P 1 die Kurven
k 2 , l 2 resp. in k v / x stetig übergehen. Dann betrachten wir das Viereck
P^MP 2 N (wo l 2 und N = y
Stücken der Kurven k XJ k 2 , l v l 2 gebildet
werden. Wählen wir nun den Punkt
P 2 unendlich nahe bei P v so wird das
genannte Viereck unendlich klein; wir
können dann seine Seiten als geradlinig
ansehen und seine Diagonale P X P 2 fällt
offenbar mit der Tangente t von c im
Punkte P, zusammen. Ferner werden
die Kurven k,
die Kurven L
K -
L
Fig. 290.
und ganz ebenso
„ 1? „ 2 in ihrer ganzen
Erstreckung nur unendlich wenig von
einander abweichen, deshalb dürfen wir
(nach 428) P X Mund P 2 B und analog P X Nund P 2 Mals parallel ansehen;
denn die Neigungswinkel der Gegenseiten sind unendlich klein. Das
Viereck P X MP 2 Nwird also beim Übergang zur Grenzlage ein Parallelo
gramm, von dessen Seiten zwei in die Tangenten g und h der Kurven
Punkte P, hinein fallen. Wählen wir
und
nun auf der
im
ge
