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Ebene und Baumkurven. 
von der Lage des Strahles OP 2 unabhängig, repräsentiert also zu 
gleich den Grenzwert. Wir bestimmen deshalb auf der Parallelen 
zu a durch J\ die Punkte M' und N' so, daß M'P X = A x O und 
N'P x = P x O ist, dann liefern QM' _L P x O und QN'\\P x O den Punkt 
Q der gesuchten Tangente. 
440. Dreht sich ein Strahl um einen festen Punkt 0 und 
trägt man auf ihm jedesmal von seinem Schnittpunkte mit 
einem festen Kreise 
a durch 0 die 
nämliche konstante 
Strecke o nach bei 
den Seiten auf, so 
erhält man einePas- 
cal’sche Schnecke. 
Enthält ein Strahl den 
Kurvenpunkt P x und 
schneidet den Kreis a 
in Ä x , so ändert sich 
die vorausgegangene 
Konstruktion offenbar 
nur insofern ab, als wir im Punkte P x eine Parallele zur Tangente 
des Kreises a im Punkte Ä x ziehen. Auf dieser Parallelen be 
stimmen sich M' und N' wieder wie vorher und auch Q wird wie 
vorher konstruiert. 
441. Zum Schluß mag hier noch eine Anwendung auf eine große 
Klasse von Kurven gemacht werden, die eine gemeinsame Entstehungs 
weise haben. Sind zwei beliebige Kurven u und v gegeben 
und bewegt man einen Winkel so, daß seine Schenkel fort 
während die Kurven u resp. v berühren, so beschreibt sein 
Scheitel eine Kurve. Als Hilfskurven, die sich in den Punkten 
unserer Kurve c schneiden, treten hier einerseits die Tangenten 
von u, andererseits diejenigen von v auf. 
Die folgende Konstruktion ist demnach nur dann anwendbar, 
wenn man an die Kurven u und v Tangenten legen kann. Zwei 
benachbarte Tangenten von u und die entsprechenden benachbarten 
Tangenten von v schließen nun den gleichen unendlich kleinen 
Winkel s ein; das von ihnen gebildete unendlich kleine Viereck 
kann als Parallelogramm angesehen werden, da sich seine Gegen 
seiten nur um unendlich kleine Größen 2. Ordnung unterscheiden. 
Berühren die Tangenten, die sich in dem Kurvenpunkte P x schneiden,