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Ebene und Baumkurven. 
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Ti die Zahl 3,14159 . . . bedeutet. Hieraus findet sich, daß der 
Kreisumfang angenähert gleich Durchmesser ist; der Fehler be 
trägt bei 10 cm Durchmesser nur etwa |mm. Bei Kreisen mit 
wesentlich größeren Durchmessern wird man deshalb den Umfang 
gleich (3f — ¥ i_) mal dem Durchmesser setzen. 
Raumkurven und ihre Projektionen; abwickelbare Flächen. 
454. Durch Bewegung eines Punktes im Baume entsteht eine 
ßaumkurve, die hier als eine Aufeinanderfolge von Punkten er 
scheint. Zwei benachbarte, unendlich nahe Lagen des be 
wegten Punktes bestimmen ein Kuryenelement und eine Tangente, 
nämlich die Gerade, die das Kurvenelement enthält; der Berührungs 
punkt der Tangente ist eben die Stelle, wo sie zwei unendlich nahe 
Punkte mit der Kurve gemein hat. Die Tangente kann demgemäß 
als Grenzlage einer Sehne der Raumkurve angesehen werden. Läßt 
man den einen Endpunkt P einer Sehne fest, während man den 
anderen Q sich auf der Raumkurve fortbewegen und schließlich mit 
dem festen Endpunkt zusammenfallen läßt, so geht die Sehne in 
der Grenzlage in die Tangente im Punkte P über. Jede Ebene 
durch die Tangente t in P ist eine Tangentialebene der Raumkurve. 
Legt man eine solche Tangentialebene durch einen in der Nähe 
von P befindlichen Punkt R der Raumkurve und läßt R sich nach 
P bewegen, so nimmt die Ebene durch t eine gewisse Grenzlage 
an, sie wird zur Schmiegungsebene. Während die Raumkurve 
bei einer gewöhnlichen Tangentialebene in der Nähe des Berührungs 
punktes ganz auf einer Seite dieser Ebene liegt, durchsetzt sie die 
Schmiegungsebene im Berührungspunkte; denn dieser entsteht ja 
durch Vereinigung des Berührungspunktes mit einem Schnittpunkt 
einer Tangentialebene. Die Schmiegungsebene enthält zwei be 
nachbarte Kurvenelemente oder drei benachbarte Kurvenpunkte; sie 
kann auch als Grenzlage einer Ebene gewonnen werden, die durch 
drei nahe bei einander liegende Kurvenpunkte P, Q, R geht, die sich 
vereinigen. 
Steht eine Gerade auf einer Tangente im Berührungspunkte 
senkrecht, so heißt sie Normale; alle Normalen in einem Punkte 
der Raumkurve liegen in einer Ebene, der Normalebene. Die 
Normale in der Schmiegungsebene heißt Hauptnormale, die auf 
ihr senkrechte Normale die Binormale; die Ebene durch Tangente 
und Binormale nennt man rektifizierende Ebene.