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Ebene und Baumkurven. 
455. Bewegt sich ein Punkt auf der Raumkurve, so führen gleich 
zeitig die zugehörige Tangente und die zugehörige Schmiegungsehene 
Bewegungen aus, und zwar dreht sich die Tangente stets um den 
bezüglichen Berührungspunkt in der Schmiegungsebene und die 
Schmiegungsebene um die bezügliche Tangente. Denken wir uns 
zunächst ein kleines aber endliches Stück PQ der Raumkurve, so 
erhalten wir eine bestimmte Bogenlänge, einen bestimmten Winkel 
der Endtangenten und einen bestimmten Winkel der Schmiegungs 
ebenen in den Endpunkten. Lassen wir den Bogen AB unendlich 
klein werden, so tritt Gleiches für den Winkel der Tangenten und 
den Winkel der Schmiegungsebenen ein, falls die Kurve stetig 
ist, wie wir voraussetzen wollen. Im allgemeinen — d. h. abgesehen 
von einzelnen Punkten — sind nun die Verhältnisse der genannten 
drei unendlich kleinen Größen endlich. Zu dem Bogenelement e 
gehört hiernach ein bestimmter Kontingenzwinkel s, Winkel be 
nachbarter Tangenten, und ein bestimmter Torsionswinkel rj, 
Winkel benachbarter Schmiegungsebenen. Das Verhältnis k = ~ 
wird wie bei den ebenen Kurven als Krümmung, das Verhältnis 
tals Torsion der Raumkurve an der betreffenden Stelle be- 
e 
zeichnet. Wie bei den ebenen Kurven giebt es durch drei benach 
barte Punkte der Raumkurve einen Krümmungskreis, er liegt in 
der zugehörigen Schmiegungsebene und sein Mittelpunkt auf der 
Hauptnormale. 
456. Bei der angeführten Bewegung beschreibt die Tangente eine 
geradlinige Fläche, welche die zur Raumkurve gehörige abwickel 
bare Fläche oder kurz die abwickelbare Fläche der Raumkurve ge 
nannt wird; die Tangenten der Raumkurve heißen die Erzeugenden 
der Fläche. Gleichzeitig führt die zugehörige Schmiegungsebene eine 
Bewegung aus; die Schmiegungsebene umhüllt in allen ihren Lagen 
die abwickelbare Fläche, das will sagen, dass jede 
Schmiegungsebene die abwickelbare Fläche längs der in ihr 
liegenden Tangente der Raumkurve berührt. Um die Richtigkeit 
des Gesagten zu erkennen, ist es nötig, näher auf die gegenseitige 
Lage benachbarter Tangenten und Schmiegungsebenen einzugehen. 
(Fig. 306). Seien P und P x zwei benachbarte Punkte unserer Raum 
kurve, t und t x die zugehörigen Tangenten, Z und Z 1 die Schmiegungs 
ebenen, und PP X = s die Sekante. Dann ist nach 426 der Abstand 
des Punktes P x von der Schmiegungsebene Z unendlich klein von 
der 3. Ordnung; ganz ebenso ist der Abstand der Tangenten t und 
unendlich klein 3. Ordnung, denn die Ebenen durch t und s resp. t x und s