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Ebene und Baumkurven. 
458. Lassen wir nun eine Ebene, welche die abwickelbare Fläche 
längs einer Erzeugenden berührt, auf dieser fortwälzen, wobei wir 
indeß nur einen der beiden Teile der Fläche, die längs der Rück 
kehrkurve aneinandergrenzen, in Betracht ziehen. Beim Abwälzen 
oder Abrollen der Ebene auf einem Teile der abwickelbaren Fläche 
werden die Erzeugenden alle nacheinander zu Berührungslinien der 
wälzenden Ebene, die sich in jedem Augenblicke um die Berührungs 
linie ohne zu gleiten dreht. Indem bei dieser Bewegung jeder Punkt 
der Fläche einmal in die wälzende Ebene fällt, liefert jede Er 
zeugende und jede Kurve unserer Fläche eine Gerade respektive 
eine Kurve in der wälzenden Ebene; sie werden als die Ab 
wickelungen jener Gebilde bezeichnet. Natürlich kann auch die 
Ebene festgehalten und die abwickelbare Fläche ohne Gleiten auf 
ihr abgewälzt werden, was offenbar darauf hinauskommt, daß eine 
abwickelbare Fläche ohne Dehnung oder Zerreißung und 
ohne Stauchung oder Faltung in eine Ebene ausgebreitet 
w'erden kann. Um sich die geschilderten Vorgänge völlig klar zu 
machen, denke man sich auf der abwickelbaren Fläche eine Reihe 
von Erzeugenden t x t 2 t s . . . t n . . . gezogen, die einander benachbart 
sind, deren Winkel e 12 = t x t 2 , s 23 = L. t 2 t 3 . . . also unendlich 
klein sind. Würde nun jede Erzeugende die vorhergehende schneiden, 
so würden sie die Verlängerungen der Seiten 
/ eines räumlichen Polygons bilden und damit 
i die Abwickelbarkeit in eine Ebene unmittelbar 
/ijV klar sein. Denn dazu gehört nur, daß man die 
//1 \y\Wf- Winkel, die je zwei aufeinanderfolgende Flächen- 
/ / | ; im\x“ demente t x t 2 , t 2 t 3 , t 3 / 4 ... einschließen, zu 2R 
/4^ JiAUxVy,:- c ausstreckt, so daß alle Elemente in die näm- 
i % u " liehe Ebene zu liegen kommen. Der Elächen- 
Fig. 308. streifen zwischen zwei Erzeugenden, etwa t x und 
t 2 , der abwickelbaren Fläche ist nun an und für sich nicht eben, 
da jedoch die gemeinsame Normale von t x und t 2 unendlich klein 
von der 3. Ordnung ist, so darf man sie als absolut gleich 0 an 
nehmen, ohne daß der dadurch begangene Fehler einen Einfluß auf 
das Resultat ausübt. In der Figur ist die abwickelbare Fläche 
durch eine Kurve u begrenzt, deren Abwickelung u 0 ist. 
459. Aus dem Vorgänge der Abwickelung einer abwickelbaren 
Fläche ergeben sich noch unmittelbar folgende Beziehungen. Der 
Winkel konsekutiver Erzeugenden ändert sich bei der Ab 
wickelung nicht, ebensowenig die Länge einer Erzeugenden 
zwischen irgend zwei auf ihr gewählten Punkten. Hieraus