Ebene und Baumkurven. 
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folgt dann weiter, daß jeder Kurvenbogen auf der abwickel 
baren Fläche gleich lang mit seiner Abwickelung ist und 
daß eine Erzeugende den Kurvenbogen unter dem gleichen 
Winkel schneidet, wie ihre Abwickelung die abgewickelte 
Kurve. Beim Abwickelungsprozeß geht hiernach die Rück 
kehrkurve c der abwickelbaren Fläche in eine ebene Kurve 
c 0 über, die mit jener an entsprechenden Stellen stets die 
gleiche Krümmung zeigt, da ja Kurvenelement und Kontingenz 
winkel dabei ungeändert bleiben (vergl. Fig. 308). 
460. Während die Krümmung der Rückkehrkante beim Ab- 
wickeln ungeändert bleibt, erfährt die Krümmung aller anderen Kurven 
der Fläche eine Änderung, und wir wollen uns fragen, in welcher 
Beziehung der Krümmungsradius r im Punkte P einer 
Kurve h der abwickelbaren Fläche zum Krümmungsradius r 0 
des Punktes P 0 der abgewickelten Kurve k Q steht (Fig. 309). 
Sind P und Q benachbarte Punkte von k, t und u die zugehörigen 
Tangenten, e und /' die durch P resp. Q verlaufenden Erzeugenden, 
und haben P 0 , Q 0 , t 0 , u 0 , e 0 ,f Q die analoge Bedeutung für die Abwickelung 
in der Ebene, so hat man: r:r 0 = s 0 : e, wo /_ tu = s und t 0 u 0 = s 0 
ist; denn es ist ja PQ — P 0 Q 0 . Bei der Abwickelung ändert sich 
nun die Lage von u gegen t dadurch, daß die Gerade u eine un 
endlich kleine Drehung um e macht, bis sie in die Ebene te zu 
liegen kommt; diese Drehung können wir durch eine Projektion er 
setzen, indem wir u senkrecht auf die Ebenere 
nach u projizieren, der hierdurch entstehende 
Fehler ist ja von höherer Ordnung unendlich 
klein; es ist demnach /_tu — L_ t Q u 0 = 6 0 . Nun 
ist aber: ¿_tu — z_ tu. cos v, wenn v den 
Neigungswinkel der Ebene tu gegen die Ebene 
te bedeutet; denn ist die Ebene UU'T J_ t, so 
Z_ UTU' = z_ v und also tg e 0 = tg e . cos v. Wir 
können mithin sagen: Der Krümmungsradius 
r einer Kurve der abwickelbaren Fläche in einem ihrer 
Punkte ist gleich dem Krümmungsradius r 0 der abgewickel 
ten Kurve im entsprechenden Punkte multipliziert mit 
cosv, wenn v den Neigungswinkel der Schmiegungsebene 
jener Kurve mit der Tangentialebene der Fläche in dem 
genannten Punkte bedeutet. 
Ist der Neigungswinkel v = R, d. h. steht die Schmiegungs 
ebene der Kurve k an der betreffenden Stelle P auf der Tangential 
ebene der abwickelbaren Fläche senkrecht, so wird die Projektion