Ebene und Raumkurven. 
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auf einer Tangente t der Raumkurve, so projiziert sich ihr Be 
rührungspunkt B als Spitze. Man kann sich hiervon Rechenschaft 
gehen, indem man einen Punkt die Raumkurve durchlaufen läßt und 
zugleich auf die Bewegung der zugehörigen Tangente achtet; denn 
während der Punkt die Lage B passiert (Fig. 310), bleibt seine Pro 
jektion einen Augenblick still stehen, um dann rückläufig zu werden. 
Man kann aber auch wieder den Grenzübergang 
benutzen. Geht die Verbindungslinie zweier 
Kurvenpunkte P und Q durch das Projektions 
centrum, so bildet die gemeinsame Projektion 
einen Doppelpunkt; beim Übergang zur Grenze 
wird die Sekante zur Tangente und der Doppel 
punkt zur Spitze. Ein Kurvenpunkt, dessen 
Schmiegungsebene durch das Projektionscentrum 
geht, liefert in der Projektion einen Wende 
punkt; da zwei benachbarte Tangenten die 
gleiche Projektion besitzen. Hieraus folgt, daß 
bei orthogonaler Projektion einer Raumkurve 
aus einem gewöhnlichen Punkte P ein gewöhnlicher, ein Wende 
oder ein Rückkehrpunkt wird, je nachdem man auf die Schmiegungs-, 
die rektifizierende oder die Normalebene projiziert. 
465. Die Raumkurve kann verschiedene Singularitäten auf 
weisen, von denen man die gewöhnlicheren auf folgende Weise erhält. 
Durchläuft ein Punkt P die Raumkurve, so dreht sich die zugehörige 
Tangente t um diesen Punkt und die zugehörige Schmiegungsebene 
Z um die Tangente t. Während in einem gewöhnlichen Kurven 
punkt der Portschreitungssinn von P auf t, der Drehsinn von t um 
P und der Drehsinn von Z um t ungeändert bleiben, werden in 
speziellen Punkten einzelne oder mehrere dieser Sinne sich um 
kehren; es giebt das — den gewöhnlichen Punkt eingerechnet — 
acht Kombinationen. Kehrt die Schmiegungsebene ihren Drehsinn 
um, so muß ihre Drehung an einer bestimmten Stelle gleich Null 
sein, sodaß dort drei Kurvenelemente oder vier benachbarte 
Kurvenpunkte in einer Ebene liegen, die stationäre Ebene ge 
nannt wird. Kehrt die Tangente ihren Drehsinn um, so fallen 
zwei Kurvenelemente oder drei konsekutive Punkte in eine Gerade, 
und es entsteht der Wende- oder Streckungspunkt. Kehrt der 
Punkt seinen Fortschreitungssinn um, so entsteht die Spitze oder 
der Rückkehrpunkt. Hiernach kann man sich auch über die 
anderen Kombinationen Klarheit verschaffen, die Besprechung der 
verschiedenen Möglichkeiten kann hier unterlassen werden.