Ebene und Baumkurven. 
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einer der beiden Projektionsebenen, etwa TT r Dann gebt die Spur 
kurve der Kegelfläche durch die Punkte M v und kann 
hiernach gezeichnet werden; die Spurlinie von I ist jetzt als 
Tangente der Spurkurve im Punkte 1\ bestimmt. 
Krumme Oberflächen. 
467. Wir haben bereits in den abwickelbaren Flächen einen spe 
ziellen Pall der krummen Flächen kennen gelernt, und wollen nun 
zu den allgemeinen krummen Flächen übergehen. Wir können 
dieselben zunächst als Gebilde definieren, die von jeder Ebene in 
einer Kurve geschnitten werden. Diese Kurven können freilich auch 
aus mehreren, insbesondere geradlinigen, Teilen bestehen. Für 
unsere Zwecke ist es unerläßlich, daß wir auf einer krummen 
Fläche mindestens ein System von Raum- oder ebenen 
Kurven angeben können. Unter einem System von Kurven ver 
stehen wir hierbei unendlich viele Kurven, die die ganze Fläche 
überdecken, sodaß durch jeden Punkt der Fläche eine oder mehrere 
solcher Kurven hindurchgehen. Zu jeder Kurve giebt es demgemäß 
in dem System zwei benachbarte Kurven, die sich in ihrer Lage 
und zwar der ganzen Erstreckung nach von jener nur unendlich 
wenig unterscheiden. Die Kurven des Systems werden entweder 
alle kongruent, oder ähnlich oder verschieden sein; im letzten Falle 
müssen jedoch zwei benachbarte Kurven bis auf unendlich kleine 
Unterschiede übereinstimmen. Im ersten Palle wird die Fläche 
erzeugt durch stetige Bewegung einer konstanten Kurve. 
So entstehen z. B. durch Bewegung einer Geraden die abwickel 
baren Flächen und die windschiefen Regelflächen; bei den 
letzteren steht der Abstand je zweier benachbarter Geraden (Er 
zeugenden) zu ihrem Winkel in einem endlichen Verhältnis, bei 
ersteren ist dieses Verhältnis unendlich klein. So entstehen z. B. 
durch Bewegung einer Kurve Translations-, Rotations- und 
Schraubenflächen, wenn die Punkte der bewegten konstanten 
Kurve kongruente Bahnen, Kreisbahnen um eine feste Achse oder 
Schraubenlinien um eine solche Achse beschreiben. (Vergl, darüber 
die späteren Kapitel). Im allgemeinen Falle wird die Fläche 
erzeugt durch stetige Bewegung einer Kurve, die zugleich 
ihre Form stetig ändert. Dabei müssen natürlich die Gesetze 
für Bewegung und Formänderung und ihre gegenseitige Abhängig 
keit gegeben sein, 
468. Die Tangente einer Fläche wird, wie bei den Kurven,