Kugel, Cylinder, Kegel. 
327 
(#/£/ || MN*' und || 1'). In 514 wird nämlich gezeigt, daß 
zwei Cylinder, die sich in einer Ellipse durchschneiden, noch eine 
zweite Ellipse gemein haben; die beiden Ellipsen besitzen einen 
gemeinsamen Durchmesser und sind affin. Durch v geht nun außer 
dem gegebenen Cylinder noch ein Cylinder, dessen Mantellinien den 
Lichtstrahlen parallel laufen, sie durchdringen sich — abgesehen 
von v — noch in der Schlagschattenellipse v*. 
481. Wir wollen uns noch die Frage nach den Tangential 
ebenen eines Cylinders aus einem gegebenen Punkte vor 
legen. Die Tangentialebene in einem Punkte des Cylinders berührt 
ihn längs der Mantellinie, die jenen Punkt enthält; alle Tangential 
ebenen sind also den Mantellinien parallel. Legt man demnach 
durch den gegebenen Punkt eine Parallele zu den Mantellinien, so 
müssen die gesuchten Tangentialebenen diese Parallele enthalten. 
Die Spuren der Tangentialebenen in E sind also die von dem 
Schnittpunkt der Parallelen mit E an u gelegten Tangenten; dadurch 
ergeben sich denn auch die Berührungslinien jener Ebenen* Würde 
man sich den gegebenen Punkt als Lichtquelle vorstellen, so würden 
die Berührungslinien die Lichtgrenzen auf dem Cylinder bedeuten. 
In der Figur 315 ist die letzte Konstruktion nicht durchgeführt. 
483. Eine Kegelfläche entsteht durch Bewegung einer Ge 
raden, von der ein Punkt festgehalten wird; die einzelnen Lagen der 
bewegten Geraden heißen Mantellinien, der gemeinsame feste 
Punkt Spitze oder Scheitel der Kegelfläche. Die erzeugte Fläche 
wird von jeder Ebene durch ihre Spitze in einer Anzahl Mantel 
linien geschnitten, die man dadurch konstruiert, daß man Kegel 
fläche und Ebene mit einer Hilfsebene schneidet; Spurkurve und 
Spurgerade schneiden sich dann in den Spurpunkten der gesuchten 
Mantellinien. Hält man eine solche fest und dreht die Ebene um 
sie, so bewegen sich die anderen Schnittgeraden. Setzt man die 
Drehung fort bis die Spurgerade der Ebene die Spurkurve der 
Kegelfläche berührt, so fallen zwei Mantellinien zusammen; die 
Ebene berührt in dieser Lage die Fläche längs dieser Mantellinie. 
In der That tangiert jede Gerade dieser Ebene die Kegelfläche, da 
zwei ihrer Schnittpunkte auf jener Mantellinie zusammenfallen. 
488. Kennt man von einer Kegelfläche irgend eine ebene oder 
Raumkurve und ihre Spitze, so ist sie bestimmt. Der wahre Umriß 
einer Kegelfläche besteht aus einer Anzahl Mantellinien, 
da in den Punkten einer solchen die gleiche Tangentialebene be 
rührt. Sind S', S" die Projektionen der Spitze und u, u" die einer 
beliebigen Kurve der Kegelfläche (die alle Mantellinien schneidet),