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Kugel, Cylinder, Kegel. 
ändern; hieraus lassen sich unmittelbar die Polareigenschaften des 
Kegels erschließen. Hat eine Kegelfläche den Scheitel S und die 
Grundkurve u und stellen A und a irgend einen Pol und seine 
Polare in Bezug auf u dar, so heißt SA = a c der Pol strahl der 
Ebene Sa = A in Bezug auf die Kegelfläche und umgekehrt heißt 
A die Polar ebene des Strahles a c . Alle Kegelsehnen, d. h. Strecken, 
deren Endpunkte auf dem Kegel liegen, werden falls sie selbst oder 
verlängert a c schneiden durch a c und A harmonisch geteilt. Speziell 
werden alle Kegelsehnen, die zu a c parallel sind, durch A 
halbiert. Analog werden alle Sehnen, die durch einen Punkt M 
von a c gehen und zu A parallel sind, in M halbiert, oder mit anderen 
Worten: die Mittelpunkte aller zu einer Ebene A parallelen 
Kegelschnitte liegen auf dem zu A gehörigen Polstrahl a c . 
Diese Kegelschnitte sind natürlich ähnliche und ähnlich gelegene 
Kurven und zwar Ellipsen, Parabeln oder Hyperbeln; unter ihnen 
befindet sich der Ebene durch S entsprechend ein Punkt, eine 
doppelte Gerade oder ein Geradenpaar. Steht ein Polstrahl auf 
seiner Polarebene senkrecht, so wird er zur Achse und seine Polar 
ebene zur Haupt- oder Symmetrieebene des Kegels; letztere 
halbiert alle zu ihr senkrechte Sehnen, erstere trägt die Mittel 
punkte aller zu ihr senkrechten Schnittkurven. Durch jede Kegel 
achse gehen zwei Hauptebenen, nämlich die Ebenen, welche die 
Achsen der zu ihr senkrechten Kegelschnitte enthalten, denn sie 
halbieren die zu ihnen senkrechten Sehnen. Analog liegen in jeder 
Hauptebene zwei Kegelachsen, sie sind den Achsen der zu ihr 
parallelen Kegelschnitte parallel. Jeder Kegel besitzt demnach 
drei zu einander rechtwinklige Achsen, die zu zwei und 
zwei die drei Hauptebenen bestimmen (vergl. 262). Zunächst 
haben wir dabei vorausgesetzt, daß immer eine Achse existiert, die 
weitere Darlegung wird die Dichtigkeit dieser Voraussetzung ergeben. 
487. Z wei Strahlen durch S, von denen jeder in der 
Polarebene des anderen liegt, heißen harmonisch oder kon 
jugiert. Zu jedem Strahl durch S giebt es einen harmoni 
schen, rechtwinkligen Strahl, er bildet die Schnittlinie der zu 
jenem Strahl durch S gelegten Normalebene mit seiner Polarehene. 
Nur zu den Achsen sind alle Strahlen der zugehörigen Hauptebene 
rechtwinklig und zugleich harmonisch. Seien nun A und M zwei be 
liebige Ebenen durch den Scheitel S des Kegels, l und m ihre Spuren 
in der Ebene TT der Grundkurve u, l n und m n ihre Normalen in S, 
l c und m c ihre Polstrahlen; die Spurpunkte dieser Geraden in H 
mögen L n , M n , L c , M c respektive sein. Bezeichnen wir ferner mit