Kugel, Cylinder, Kegel. 
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Ä den Spurpunkt eines Strahles a durch 8, mit A M die Normalebene 
zu a in S, mit A, ; die Polarebene von a, mit a n resp. a c die Spur 
linien dieser Ebenen, dann ist a x = A„ X A c der harmonische recht 
winklige Strahl zu a und A 1 — a n X a c sein Spurpunkt. Beschreibt 
nun a einen Strahlbüschel in der Ebene A mit dem Scheitel 8, so 
beschreibt A„ einen dazu projektiven Ebenenbüschel mit der Achse 
4 und A c einen projektiven Ebenenbüschel mit der Achse l c . In 
der Ebene TT durchläuft dann der Spurpunkt A von a die Punkt 
reihe l, während der Spurpunkt A x des zu a harmonischen, recht 
winkligen Strahles a x einen Kegelschnitt l x durchläuft; dieser Kegel 
schnitt wird erzeugt durch zwei projektive Strahlbüschel, deren ent 
sprechende Strahlen a n und a c sich um die Scheitel L n und L c drehen; 
er enthält deshalb die Punkte L n und L c . In gleicher Weise werden 
den Punkten einer Geraden m von TT die Punkte eines Kegel 
schnittes m x entsprechen, wenn wir die Spurpunkte harmonischer 
rechtwinkliger Strahlen kurzweg als entsprechende Punkte be 
zeichnen (Pig. 318). Dem Punkte W =lxm entspricht ein gemeinsamer 
Punkt }f x von l x und m x , diese Kegelschnitte müssen sich deshalb 
mindestens noch in einem weiteren Punkte X x schneiden. Zu X x 
giebt es mithin je einen entsprechenden Punkt auf l und m, zu 
SX x = x x giebt es also zwei harmonische rechtwinklige Strahlen, 
d. h. x x ist eine Achse unseres Kegels, der nach Obigem noch zwei 
weitere Achsen besitzen muß. Die Kegelschnitte l x und m x 
schneiden sich — abgesehen von dem zu l x m entsprechenden Punkte 
— in den Spurpunkten X x , Y x , Z x der drei Kegelachsen x x ,y x ,z x 
(Fig. 318; vergl. die analoge Untersuchung in 376). 
488. Hiernach genügt es zu zwei beliebigen Geraden l und m 
die entsprechenden Kegelschnitte l x und m x wirklich zu zeichnen, um 
ihre Schnittpunkte und damit die Achsen des Kegels zu gewinnen. 
Zur Erzeugung des Kegelschnittes l x dienen zwei projektive Strahl 
büschel; der eine hat seinen Scheitel im Pole L c von l in Bezug 
auf u, seine Strahlen sind die Polaren der bezüglichen Punkte von /; 
der andere hat seinen Scheitel in L n , seine Strahlen stehen senk 
recht auf den Verbindungslinien der bezüglichen Punkte von l mit 
8', wo 8' die Projektion von 8 auf TT bedeutet. Ist L 2 der Euß- 
punkt des von 8' auf l gefällten Lotes, so liegt L n auf der Ver 
längerung dieses Lotes S'T 2 über 8' hinaus und genügt der Relation: 
S' L 2 ,8'L n — h 2 , wenn man unter h = SS' = S'S 0 die Höhe des Kegels 
versteht, da ja z_ L 2 8L n ein rechter Winkel ist. Jeder Geraden 
in TT entspricht ein Kegelschnitt durch die Punkte X x , Jj, Z x \ unter 
allen diesen Kegelschnitten wird man zwei besondere auswählen,