Kugel, Cylinder, Kegel. 
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halb je zwei konjugierte Durchmesser symmetrisch zu den Asymp 
toten. Der Mittelpunkt R unserer Hyperbel l x ergiebt sich hiernach 
als Schnitt zweier Durchmesser, von denen der eine durch die Mitte 
/ der Sehne S'O geht und mit der Achse AB den gleichen Winkel 
einschließt wie diese Sehne, während der andere die Mitte K der 
Sehne F X S' enthält und mit dieser gegen die Achse AB gleich 
geneigt ist, denn jeder Durchmesser halbiert die Sehnen, die dem 
konjugierten Durchmesser parallel sind. Zeichnet man also drei 
Rechtecke., deren Seiten zu AB und CR parallel und deren erste 
Diagonalen S'O, S'F X , F x O respektive sind, so schneiden sich ihre 
zweiten Diagonalen im Mittelpunkt R der Hyperbel; von dieser 
findet man beliebig viele Punkte aus ihren Asymptoten g und g x 
und den bekannten Punkten. Weiterhin wird noch eine Methode 
angegeben, um beliebige Durchmesser der Hyperbel l x direkt zu 
bestimmen. 
489. Zur Erlangung des Kreises durch die Punkte X v Y x , Z x 
bedürfen wir eines Satzes, der zunächst hier abgeleitet werden soll. 
Einer beliebigen Geraden i entspricht in der oben geschilderten 
Weise ein Kegelschnitt i v einer Punktreihe auf i entspricht eine zu 
ihr projektive Punktreihe auf i x . Wählen wir auf i irgend eine 
Punktinvolution • mit den Doppelpunkten /“und J v , so entspricht 
ihr auf i x eine Punktinvolution mit den Doppelpunkten J x u und J x v \ 
die Verbindungslinien der Punktepaare dieser Involution auf i x gehen 
durch das Centrum R der Involution (nach 325) und die Schnitt 
punkte der zugehörigen Tangentenpaare liegen auf der Achse j der 
Involution; dabei ist j die Polare von R in Bezug auf i x und geht 
durch die Doppelpunkte J x u und J x v der Involution. Der Geraden 
j entspricht ein Kegelschnitt j x , der offenbar durch die Punkte /“ 
und J v von i hindurchgeht; der Involution auf j mit den Doppel 
punkten J x u und J x v entspricht auf j x die Involution mit den Doppel 
punkten /“ und J v , d. h. für diese Involution aufy^ ist i — J U J V die 
Achse und der Pol /* von i in Bezug aufjj ist das Centrum. Hieraus 
Hießt der Satz: 
Sucht man zu zwei beliebigen Geraden i und j die ent 
sprechenden Kegelschnitte i x undy^, so entspricht der In 
volution der Punktepaare auf i, die hinsichtlich j x kon 
jugiert sind, die Involution auf i x , deren Achse j ist; ebenso 
entspricht der Involution der Punktepaare auf j, die hin 
sichtlich i x konjugiert sind, die Involution auf j x , deren 
Achse i ist. Dieser Satz ist allerdings zunächst nur bewiesen, 
wenn i und j x , also auch i x und j sich schneiden, er gilt indeß all-