Kugel, Cylinder, Kegel.
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Zunächst erinnern wir daran, daß die Polaren eines Punktes in
Bezug auf alle Kegelschnitte durch vier feste Punkte einen
Punkt gemein haben (vergl. 369); zu jedem Punkt giebt es also
einen weiteren, der jenem in Bezug auf alle die Kegelschnitte
konjugiert ist.
Kommen wir nun zurück zu den Geraden i und j und den Kegel
schnitten i x und j x , die ihnen in dem früher angegebenen Sinne ent
sprechen. Legen wir durch J — den Pol von j in Bezug auf i x — eine
beliebige Gerade, die i x in A x und B x schneidet (Fig. 319), so müssen
wir zeigen, daß die entsprechenden Punkte A und B auf i in Bezug
auf j x konjugiert sind. Ist C der Pol von A X B X in Bezug auf i v so
entsprechen den Geraden durch C Kegelschnitte, die alle die vier
Punkte X v T v Z x , C x enthalten, wenn C x der entsprechende Punkt
zu C ist; zu diesen Kegelschnitten gehört auch j v da C auf j liegt.
Sind aber k und / zwei Geraden durch C, die i x in den Punkten
K x , K x respektive L v L x schneiden, so schneiden die entsprechenden
Kegelschnitte k x und l x die
Gerade i in den entsprechen
den Punkten K, K' respektive
L, L'. Da jedoch auf i x die
Punktepaare K V K X und L x , L x
durch A v B x harmonisch ge
trennt werden, so werden auch
auf i die Punktepaare K, K' und
B, L' durch A, B harmonisch
getrennt, d. h. A und B sind 319>
konjugierte Punkte in Bezug
auf die beiden Kegelschnitte k x und l x , woraus denn nach dem
oben citierten Satze folgt, daß A und B auch hinsichtlich des
Kegelschnittes j x konjugiert sind.
Kugel, Cylinder, Kegel, ihre ebenen Schnitte und
Abwickelungen.
493, Eine Ebene E von vorgegebenen Spuren e v e 2 mit
einer Kugel zu schneiden (Fig. 320).
Da die Schnittkurve ein Kreis ist, ihre Projektionen aber
Ellipsen, so genügt es zwei rechtwinklige Durchmesser dieses Kreises
zu bestimmen, deren Projektionen konjugierte Durchmesser der
Ellipsen sind. Wir legen nun durch den Kugelmittelpunkt 0 eine
Ebene A senkrecht zu e x ; sie ist Symmetrieebene für die Kugel und
Rohn u. Papperitz. I. 22
