Kugel, Cylinder, Kegel. 
345 
Durch die abgewickelten Punkte 1, 2, 3, 4, ... ziehen wir die 
Mantellinien und tragen auf ihnen die Strecken 11 M , 22 u , 33 M , ... 
auf, so erhalten wir Punkte der ahgewickelten Ellipse u. Die Strecke 
11 M ist = LL 2 "’, die anderen Strecken werden aus Dreiecken ge 
wonnen, die zu A LL 2 " G ähnlich sind. Die zu LG homologen Seiten 
der ähnlichen Dreiecke gehen von den Punkten 2, 3, 4, ... aus, sind 
zu LG parallel und haben ihre anderen Endpunkte auf e 1 . Zieht 
man also durch 2, 3, 4, ... Parallelen zu e 1 und durch ihre Schnitt 
punkte mit LG Parallelen zu LL 2 ", so werden auf diesen Parallelen 
durch die Geraden GL und GL 2 "' Strecken begrenzt, die den ge 
wünschten Strecken 22 u , 33 M , 44 M , ... gleich sind. Die Abwickelung 
von u besteht aus zwei symmetrischen Teilen L 2 J 2 K 2 und K 2 H 2 L 2 \ 
denn zwei benachbarte Durchmesser von u schneiden auf u zwei 
Elemente aus, die gleich lang sind und gegen die Mantellinien die 
gleiche Neigung besitzen. 
Ein Punkt P 2 von u, in dem die Tangentialebene des Cylinders 
auf E senkrecht steht, liefert bei der Abwickelung einen Wende 
punkt. Eine zu jener Tangentialebene parallele Ebene erhält man 
also, wenn man durch einen beliebigen Punkt, etwa L 2 , eine Mantel 
linie und eine Normale zu E zieht. L ist der erste Spurpunkt der 
Mantellinie, M der erste Spurpunkt der Normalen [L 2 MJ_ e 1 , 
L 2 "M'" _l GG X ", M"'M _L a ), LM ist demnach zur Spurlinie jener 
Tangentialebene parallel, deren Spur PT den Kreis k in P berührt 
[PT\\LM, PO jl LM). Die Tangente von k in P und die Tangente 
von u in P 2 schneiden e 1 in dem nämlichen Punkte T und bilden 
das A PP 2 P; in der Abwickelung bilden die Tangenten in P und P 2 
das kongruente Dreieck PP 2 P. Um dieses zu zeichnen verlängert 
man die Mantellinie bis P x und fällt von P x auf PT das Lot P 1 U 
in der ursprünglichen Figur, bestimmt die Abwickelung von P und 
überträgt das rechtwinklige Dreieck P x UP, von dem man PP 1 und 
PU kennt, trägt PT von P aus auf PU an und verbindet T mit P 2 , 
so ist P 2 T die gesuchte Wendetangente von u, PT die Tangente 
des abgewickelten Kreises k. Die gleiche Konstruktion läßt sich 
für die Tangente in jedem Punkte der abgewickelten Ellipse u an 
wenden; der Krümmungsradius in einem solchen Punkt ergiebt sich 
aus 452 und 460. 
498. Schnitt und Abwickelung eines geraden Kreis 
kegels, dessen Grundkreis in der ersten Projektionsebene 
liegt (Fig. 325 u. 326). 
Man lege durch die Spitze S des Kegels eine Ebene senkrecht zu 
der ersten Spur e x der Schnittebeue E; sie enthält die Kegelachse