I. 
Ähnlichkeit und Affinität ebener Figuren. 
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I) AB um die 
logramm BCUE 
sht nach ß) ein 
Parallelogramm 
E x , wo B x E x 
die Verlänge 
rn A X B X bildet, 
ibrt sind zwei 
affin und affin- 
i ihre Punkte 
inander so ent- 
e obigen Eigen- 
t sind. Denn, 
. Fig. 5) irgend 
einen, Ä x , B x , C\ 
den Punkte der 
3C, CA, AB ihre 
Cx A X B X C X ; da 
IA X (| BB X , u. s. f. 
haften mit Aus- 
zu bezeichnen, 
können, findet 
Ebenen E, E, 
i einer Geraden 
ferner gehe g 2 
is g 2 durch eine 
ionhervor; dann 
d durch eine 
inder bezogen, 
der Satz: Sind 
eine und die- 
zwei ebene 
einer dritten 
auch zu ein- 
ügt, den Beweis 
ei Punkte und 
B in g mögen 
. Die Geraden 
ruf a. Da aber 
zugleich AA 2 jj BB 2 und A 1 A 2 |j B X B 2 ist, so sind die Dreiecke AA X A 2 
und BB X B 2 ähnlich und ähnlich gelegen, folglich AA X || BB 2 , u. s. f. — 
9. Wenn man die bisherigen Annahmen spezialisiert, indem 
man die Ebene E 1 als mit E zusammenfallend betrachtet, so gelangt 
man zu einer indirekten Definition affiner und affingelegener 
Figuren g und ^ in einer Ebene, nämlich durch Vermittelung 
zweier nacheinander angewandter beliebiger Parallelprojektionen, 
welche zuerst $ in $ 2 , dann 3 2 in überführen. In der Folge 
wird die direkte Abhängigkeit zwischen g und ^ ohne Zuhilfenahme 
räumlicher Konstruktionen untersucht. Der obige Satz lässt aber 
bereits erkennen, daß die Bedeutung der Affiuitätsachse a als der 
Linie sich selbst entsprechender Punkte erhalten bleibt, sowie daß 
die Strahlen rlA x , BB X , u. s, w., welche jetzt gleichfalls der Ebene E 
angehören, parallel sind; dagegen kann das Bild eines Punktes nicht 
mehr als Spur seines projizierenden Strahles in der Bildebene erklärt 
werden. Die Parallelprojektion in der Ebene bedarf also besonderer 
Erklärung, da die im Raume anwendbaren Operationen beim Über 
gang zu Gebilden einer Ebene auf hören einen bestimmten Sinn 
zu haben. 
10. Wird eine ebene Figur um eine in ihrer Ebene enthaltene 
Achse gedreht, so beschreiben irgend zwei Punkte derselben Kreis 
bögen, deren Sehnen parallel sind. Mithin folgt aus obigem Satze 
als Korollar: Zwei affine und affingelegene ebene Figuren 
bleiben in affiner Lage, wenn eine derselben um die 
Affinitätsachse beliebig gedreht wird. Im besonderen kann 
hiernach für die betrachteten Figuren auf doppelte Art die affine 
Lage in einer Ebene herbeigeführt werden, indem man die Bild 
ebene durch Drehung nach der einen oder der anderen Seite mit 
der Originalebene zur Deckung bringt. Dreht man umgekehrt von 
zwei in einer Ebene affingelegenen Figuren die eine beliebig um 
die Achse aus der Ebene heraus, so wird sie in der neuen Lage 
durch eine Parallelprojektion auf die andere bezogen. 
Affine und affingelegene Figuren einer Ebene. 
11. Zufolge der im vorigen enthaltenen indirekten Definition 
müssen zwei Figuren g und derselben Ebene, wenn zwischen 
ihnen Affinität bei affiner Lage bestehen soll, folgende Eigen 
schaften haben: 
a) Die Verbindungslinien entsprechender Punkte sind 
parallel;