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Kugel, Cylinder, Kegel. 
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und SK. Denn Endpunkte, Mittelpunkt und unendlich ferner Punkt 
einer solchen Sehne liegen harmonisch, also auch die Spurpunkte 
der von S durch sie gelegten Strahlen, die auf einer Geraden durch 
S' liegen; zwei derselben fallen auf c, einer nach S', der vierte also 
auf die Polare JK des Punktes S' in Bezug auf c. Beide Ebenen 
schneiden sich in einer Geraden h (h\\JK\\81\, H 2 = k" x RT^, 
deren Projektion h' die Doppelpunkte von u trägt. Die projizierende 
Ebene durch h schneidet die Kugel in einem Kreise i 2 und den 
Kegel in einer Ellipse j 2 , h ist zugleich Durchmesser von i 2 und 
Achse von j 2 , so daß ihre vier Schnittpunkte paarweise auf zwei 
Senkrechten zu Dj liegen und bei der Projektion in die Doppel 
punkte 1 und 2 von u zusammenfallen. Für die Konstruktion der 
Schnittpunkte von i 2 und j 2 gilt ganz das in den vorangehenden 
Beispielen Gesagte und soll hier nicht wiederholt werden, nur sei 
noch hinzugefügt, daß die eine Achse von j 2 durch den Umriß 8J 
und SK begrenzt wird, die andere also im Mittelpunkt darauf senk 
recht steht, ihre Länge ergiebt sich durch Umlegen der bezüglichen 
projizierenden Ebene. Von den Involutionen, denen das Punkte 
paar 1, 2 angehört, wird hier eine bestimmt durch die Punktepaare 
fi X K und fi x S'J, h' x S'K, eine zweite wird definiert durch 
Lotung der Punktepaare U — U und V x , V 2 auf fi. 
— 513. Eigenschaften der Durchdringungskurve u zweier 
Kegelflächen f\ x und A 2 , die eine beliebige Lage zu einander 
haben. Die Cylinderflächen erscheinen als spezielle Fälle der 
Kegelflächen und brauchen nicht besonders behandelt zu werden. 
Zunächst ist zu erkennen, daß jede Ebene die Kurve u iu vier 
Punkten schneidet; es sind dieses die vier gemeinsamen Punkte der 
beiden Kegelschnitte, die die Ebene aus den beiden Flächen aus 
schneidet. Die vier Punkte können alle reell sein, oder es ist ein 
Paar konjugiert imaginär, oder es sind zwei Paare konjugiert ima 
ginär; vergl. 373. Die Durchdringungskurve n zweier Kegel 
flächen wird deshalb als Raumkurve 4. Ordnung bezeichnet, 
indem die Ordnung einer Raumkurve die Zahl ihrer Schnittpunkte mit 
jeder beliebigen Ebene angiebt. Seien nun S x und S 2 die Scheitel 
unserer Kegelflächen und s ihre Verbindungslinie, so giebt es zu s 
eine Polarehene T x in Bezug auf den Kegel f\ x und eine Polarebene 
Z 2 in Bezug auf A 2 (vergl. 486), beide mögen sich in t schneiden. 
Eine beliebige Ebene E durch s enthält zwei Erzeugende a x , b x von \ 
und zwei Erzeugende a 2 , h 2 von A 2 und die vier Punkte E x = a x x « 2 , 
E 2 = a x X f> 2 , E s = a 2 X h x , E 4 = b x x h 2 von u. Der Punkt 
E X E^ x E 2 E z = J liegt auf t\ denn J liegt auf und auf Z 2 , da