Kugel, Cylinder, Kegel. 
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G — s x E X E^ und / die Strecke E X FJ X harmonisch trennen, diese 
aber eine gemeinsame Sehne beider Kegel bildet. Die Ebene tG 
schneidet [\ x resp. A 2 in den Kegelschnitten l x resp. l 2 , die sich — 
abgesehen von E x und E± — noch in zwei weiteren Punkten E x , F 4 
treffen, deren Verbindungslinie wiederum durch G geht. Denn t 
ist die Polare von G in Bezug auf die beiden Kegelschnitte l x , l 2 — 
t liegt ja in Z 1 und Z 2 —, nach 374 liegen also die Punkte 
E 1 E 1 X E^E^ = 1\ und F\E^ x F\ E x = T 2 auf t, während E X E^ 
X F\F\ = G der Pol von t für l x und l 2 ist. Zugleich ist T x die 
Polare von GT 2 und T 2 die Polare von Gl\ für beide Kegelschnitte 
l x , l 2 , d. h. die Ebene sT x ist die Polarebene von S X T 2 in Bezug auf 
Aj, und von S 2 T 2 in Bezug auf A 2 , und ebenso ist sT 2 die Polar- 
ebene von S x 2' x in Bezug auf A x und von S 2 'l\ in Bezug auf A 2 . 
Auf jeder Geraden durch T x werden mithin beide Kegelsehnen durch 
T x und die Ebene sT 2 harmonisch getrennt; haben beide Sehnen 
also einen Endpunkt gemein, so haben sie auch den zweiten End 
punkt gemein. Jede Gerade durch T x , die nach einem Punkte von 
u gezogen ist, trifft u noch zum zweiten Male; Gleiches gilt für die 
Geraden durch T 2 . Demnach bilden 1\ resp. T 2 die Scheitel 
zweier Kegel K 2 resp. K 2 , deren Erzeugende die Kurve u 
je zweimal treffen; also ganz so wie es sich mit den Erzeugenden 
der Kegel A, und A 2 verhält. Jede Ebene durch 1\ schneidet den 
Kegel in zwei reellen oder konjugiert imaginären Erzeugenden, 
auf denen paarweise die vier Schnittpunkte der Ebene mit u liegen; 
jede Ebene schneidet somit den Kegel K x in einer Kurve 2. Ord 
nung — die von jeder Geraden der Ebene in zwei reellen oder 
konjugiert imaginären Punkten getroffen wird. Die früher von uns 
untersuchten Kegelschnitte sind solche Kurven 2. Ordnung und um 
gekehrt ist jede Kurve 2. Ordnung ein solcher Kegelschnitt, wie in 
der analytischen Geometrie nachgewiesen wird. Die Durch 
dringungskurve u liegt auf vier Kegelflächen 2. Ordnung. 
513. Projiziert man die Kurve u durch parallele Strahlen, oder 
durch Strahlen aus einem Centrum, so erhält man eine Kurve 4. Ord 
nung u mit zwei Doppelpunkten. Der Beweis hierfür ist dem in den 
vorangehenden Beispielen gebildeten völlig analog und kann deshalb 
übergangen werden. Die Kurve u besitzt ferner acht Doppel 
tangenten, denn jeder der vier Kegel durch u zeigt hei der Pro 
jektion als wahren Umriß zwei Geraden, die von u in je zwei reellen 
oder imaginären Punkten geschnitten werden, die acht scheinbaren 
Umrißlinien sind daun die Doppeltangenten. Die Doppeltangenten 
können natürlich auch paarweise imaginär werden.