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Kugel, Cylinder, Kegel. 
Die Punkte von u liegen paarweise auf Erzeugenden des Kegels 
K 1 (Gleiches gilt für die übrigen Kegel) und werden durch T x und 
die Ebene S X S 2 T 2 harmonisch getrennt, die Tangenten in den Punkten 
eines solchen Paares liegen in der hez. Tangentialebene des Kegels 
und schneiden sich in einem Punkte der Ebene S X S 2 T 2 . Zu 
jedem Punkte von u lassen sich mit Hilfe des Tetraeders S X S 2 T X T 2 
noch sieben weitere Punkte von u ableiten. Acht derartig zusammen 
gehörige Punkte liegen sowohl paarweise auf vier Strahlen durch 
<Sj, wie auf vier Strahlen durch S 2 , wie auf vier Strahlen durch 1\ 
und auf vier Strahlen durch T 2 \ je zwei dieser acht Paare werden 
entweder durch eine Ecke des Tetraeders S X S 2 T X T 2 und seine Gegen 
seite, oder durch ein Paar Gegenkanten harmonisch getrennt. Die 
Punkte von u in den Tetraederseiten haben stationäre Schmiegungs 
ebenen (vergl. 465). 
Es ist noch zu erwähnen, daß bei der obigen Betrachtung die 
Punkte F x und F 2 konjugiert imaginär sein können, dann werden 
auch die Scheitel T x und T 2 und damit die hez. Kegel imaginär; 
die Kurve u liegt nur noch auf zwei reellen Kegeln. 
514. Spezielle Durchdringungskurven zweier Kegel 
flächen !\ x und A 2 . Zwei Kegelflächen, die denselben Kegel 
schnitt a enthalten, haben noch einen weiteren Kegelschnitt 
h gemein. Seien S x und S 2 die bez. Scheitel der Kegel, ferner A die 
Ebene des Kegelschnittes a, endlich q die Polare des Punktes 
Q = A X S X S 2 in Bezug auf die Kurve a. Legen wir nun durch 
S X S 2 eine beliebige Ebene, die a in Ä x und Ä 2 schneidet, so ge 
hören die Punkte 8 X A X X S 2 Ä 2 = B x und S X Ä 2 x S 2 Ä X = B 2 der 
Durchdringungskurve h an, die eine ebene Kurve sein muß. Die 
vier Erzeugenden bilden nämlich ein Yierseit und es liegen die 
Punkte A x , Ä 2 , Q und A X A 2 x F X B 2 harmonisch und ebenso die 
Punkte S x , S 2 , Q und S X S 2 x = R\ d. h. die Gerade B X B 2 liegt 
in der Ebene qR. Aber sowohl q wie R sind unabhängig von der 
Wahl der Ebene durch S X S 2 , so daß die ganze Kurve h in der Ebene 
qR liegt und natürlich einen Kegelschnitt bildet. 
Die Kegelflächen berühren sich in den beiden Schnittpunkten 
von a und h\ denn die Tangenten dieser Kurven in einem ihrer 
Schnittpunkte sind zugleich Tangenten der beiden Kegelflächen, 
ihre Ebene ist also für beide Flächen Tangentialebene und geht 
demnach auch durch ihre Scheitel hindurch. Umgekehrt zerfällt 
die Schnittkurve u zweier Kegel, die sich an zwei Stellen J und K 
berühren, in zwei Kegelschnitte. Denn eine Ebene durch /, K und 
einen Punkt P von u schneidet beide Kegel in Kegelschnitten, die