Kugel, Cylinder, Kegel. 
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sich in J und K berühren und durch P gehen, also zusammen- 
fallen. 
Zwei Kegel mit gemeinsamem Scheitel durchschneiden sich 
in vier Erzeugenden. Zwei Kegelflächen, von denen jede den 
Scheitel der anderen enthält, durchdringen sich in einem Kegelschnitt, 
wenn sie sich längs der Verbindungslinie der Scheitel berühren. 
Ist S X S2 = s die gemeinsame Erzeugende und Z die Ebene, die beide 
Kegel A x und A 2 längs s berührt, sind ferner a v a 2 \ b v b 2 \ c v c 2 ; 
d v d 2 ... sich schneidende Erzeugende beider Kegel und Ä, B, C,B,... 
ihre Schnittpunkte, so betrachten wir zwei Ebenenbüschel mit den 
Achsen s resp. a x , die den Kegel A x erzeugen und zwei Ebeuen- 
büschel mit den Achsen s resp. a 2 , die den Kegel A 2 erzeugen. Das 
Ebenenhüschel s (b v c x , d v . . . s) oder s (¿ 2 , c 2 , d 2 , . . . s) ist zu den 
Büscheln a x [b v c v d v ... s) und a 2 (b 2 , c 2 , d 2 , . . , s) projektiv, da 
sie Kegelflächen miteinander erzeugen; die letzten beiden Büschel 
sind aber zugleich perspektiv, denn die Ebenen a x s und a 2 s sind 
identisch; ihre entsprechenden Ebenen schneiden sich also in den 
Strahlen eines Strahlbüschels, dessen Ebene einen beiden Kegel 
flächen gemeinsamen Kegelschnitt enthält. 
515. Eigenschaften der Raumkurven 3. Ordnung. 1 Zwei 
Kegelflächen A x und A 2 mit einer gemeinsamen Erzeugenden 
s durchdringen sich noch in einer Raumkurve 3. Ordnung u. 
Denn jede Ebene schneidet die ganze Durchdringungskurve, die sich 
aus s und u zusammensetzt, in vier Punkten. Sind S x und S 2 die 
auf s liegenden Scheitel der Kegel und schneiden sich in den 
Punkten Ä, B, C, B . . . von u respektive die Erzeugenden a v a 2 \ 
b x , b 2 \ c v c 2 ; d v d 2 . . ., so ist das Ebenenbüschel s (¿ x , c x , d x , .,.) 
— s {b 2 , c 2 , d 2 , . . .) projektiv zu den Büscheln a x [h v c x , d v . . .) und 
° 2 (¿ 2 , c 2 , d 2 , . . .). Die letzteren Büschel, deren Achsen sich in Ä 
schneiden, sind projektiv — aber nicht perspektiv — und erzeugen 
eine Kegelfläche mit dem Scheitel Ä, die ebenfalls durch u hindurch 
geht. Jeder Punkt der Raumkurve 3. Ordnung kann als Scheitel 
eines Kegels 2. Ordnung dienen, der sie ganz enthält. Mit anderen 
Worten: Die Projektion einer Raumkurve 3. Ordnung aus 
einem beliebigen ihrer Punkte auf irgend eine Ebene ist 
immer ein Kegelschnitt. 
Eine Raumkurve 3. Ordnung ist durch sechs von ihren 
1 Zum Studium der Kaumkurven 3. Ordnung sind zu empfehlen: von Staudt, 
Beiträge zur Geometrie der Lage, §38; Keye, Geometrie der Lage, Bd. 2, 
zwölfter Vortrag; Schröter, Theorie der Oberflächen 2. Ordnung und der 
Kaumkurven 3. Ordnung, nach Steiner’s Prinzipien bearbeitet 1880, S. 227 flg.