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Kugel, Cylinder, Kegel. 
soll ihre Asymptote (d. h. die Tangente im unendlich fernen Punkt) 
gefunden werden. Die unendlich fernen Punkte von u liegen auf 
parallelen Erzeugenden der Kegel A 1 und A 2 ; verschiebt man A x 
parallel mit sich selbst im Räume bis sein Scheitel S 1 mit S 2 zu 
sammenfällt und er die Lage A x ° annimmt, so kommen die par 
allelen Erzeugenden zur Deckung, bilden also die gemeinsamen Er 
zeugenden der Kegel A 2 und A 1 °, abgesehen von der gemeinsamen 
Erzeugenden m. Die Spurellipse l x ° des Kegels A x ° ist zu l x ähn 
lich und ähnlich gelegen, M ist das Ahnlichkeitscentrum, S 2 und 
8 X sind entsprechende Punkte der ähnlichen Figuren, wonach 
gezeichnet werden kann. / 2 und / x ° schneiden sich außer M nur 
noch in dem reellen Punkte Q 2 (/ 1 ° ist nicht verzeichnet); es sind 
nun S 2 Q 2 und &\Q 1 parallele Erzeugende (Q x = MQ 2 x und die 
Tangenten von l x in Q x und l 2 in Q 2 schneiden sich in einem Punkte 
der Asymptote y {y\\S X Q X || 8 2 Q 2 ). 
517. Die Kurve u besitzt einen Doppelpunkt, den eine ein 
fache Betrachtung liefert. Die zu TT normalen Sehnen des Kegels A 3 
werden halbiert durch die Ebene seiner Umrißlinien, ihre Spur ist 
die Polare v von S x in Bezug auf l x (vergl, 511), und sie enthält 
die Gerade VS X [V = v x Z^i^). Ebenso halbiert die Ebene durch 
S 2 und die Polare ic von S 2 in Bezug auf l 2 die zu TT normalen 
Sehnen des Kegels A 2 , diese Ebene enthält noch die Gerade IIS 2 
(/A = ic x Z^Z^). Die Schnittlinie r beider Ebenen hat den Punkt 
R = v X ro zur Spur und enthält außerdem den Punkt A — VS l x WS 2 . 
Die zu TT senkrechte Ebene durch r schneidet die beiden Kegel in 
zwei Kegelschnitten i x und i 2 respektive; r ist für beide gemein 
samer Durchmesser und halbiert die zu TT normalen Sehnen beider; 
die vier -Schnittpunkte von i x und i 2 liegen also auf zwei Normalen 
zu TT. Die Kegelschnitte i v i 2 und das soeben genannte Normalen 
paar bilden drei Kurven eines Büschels (mit vier gemeinsamen 
Grundpunkten), sie schneiden also r in drei Punktepaaren einer In 
volution. Das Punktepaar r x \ liegt auf den Umrißlinien von A 1? 
das Punktepaar r x \ auf den Unrißlinien von A 2 (in der Figur sind 
diese nicht reell); ein Punkt des dritten Paares liegt auf der Nor 
malen zu TT, die den auf in liegenden gemeinsamen Punkt von i x 
und i 2 enthält. In der Projektion bildet hiernach der Doppelpunkt 
F von u' mit G = r X rn ein Punktepaar der Involution auf r, von 
der ein Punktepaar von dem scheinbaren Umriß des Kegels A x 
und ein zweites Punktepaar von dem scheinbaren Umriß des 
Kegels A 2 ausgeschnitten wird; es läßt sich somit F nach 325 oder 
364 konstruieren.