Ähnlichkeit und Affinität ebener Figuren. 
XX', YT, ZZ' resp. parallel zu FC, CA, AB, suche hierauf etwa die 
Punkte X x und Z x , welche C 1 A 1 in denselben Verhältnissen teilen, 
wie X und Z die 
Strecke CA, und 
ziehe durch sie Pa 
rallelen zu B x C 1 
und A 1 B 1 ; ihr 
Schnittpunkt istP r 
Auf gleiche Weise 
von den Punkten 
Z' und Y oder X' 
und Y' ausgehend 
gelangt man zu 
dem nämlichen ße- 
Fig. 13. 
sultate. Zunächst folgt nämlich aus der Konstruktion: 
Zieht man nun durch P 1 die Gerade Z 1 Z\ || A 1 B l , so ist nur zu 
zeigen, daß 
A X Z X ; A X C\ = AZ-. AC 
und folglich auch 
B X Z\ :B X C X = BZ'; BC 
ist. Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke ABC und Y'X'P, A X B X C X 
und Y' x X / x P 1 ergiebt sich aber: 
AZ- AC = TT : AB, 
A X Z X :A X C X = X' x Y' x : A X B X , 
und hieraus die Behauptung. 
19. Ist durch wechselseitige Zuordnung zweier Dreiecke zwischen 
zwei Figuren einer Ebene Affinität im weiteren Sinne hergestellt, 
so befinden sich dieselben im allgemeinen nicht in affiner Lage, 
d. h. es giebt weder eine Linie sich selbst entsprechender Punkte 
(Affinitätsachse), noch sind die Verbindungslinien entsprechender 
Punkte parallel; vielmehr gilt folgender Satz: 
Zwei affine Figuren einer Ebene haben im allgemeinen 
nur einen Punkt sich selbst entsprechend gemein. Haben 
sie zwei Punkte P und Q entsprechend gemein, so befinden 
sie sich zugleich in affiner Lage und PQ ist die Affinitäts 
achse. 
Wir beweisen diesen Satz schrittweise. 
20. Die Verhältnisse der Strecken, welche ein gegebenes System 
von Parallelstrahlen g, h, i, . . . auf einer Geraden u ausschneidet, 
2* 
uessers zum kon- 
n gegebenen De- 
fangenten, Achsen 
i Sinne. 
Verwandtschaften 
und Affinität, 
gehend behandelt 
wei zurückführen, 
tsprechen drei 
Hlele Gerade, 
i sich bereits ge- 
timmte Verwandt- 
efinieren, voraus- 
iden Punkten die 
re Eigenschaft: 
en bleiben bei 
aimen entsprechen 
gleichen Strecken 
len nun zunächst 
ngenommen: AB 
nsames Maß, so 
Strecken: 
ke e die Strecke e x 
)arallele Strecken 
der beiden Maß 
inkommensurable 
iecke, welche die 
auf Grund der 
er entsprechende 
P die Geraden