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ist; die Substitution, durch welche jede Zahl co — <p (ß) des Körpers £1 
in die korrespondierende oder konjugierte Zahl co' = cp (6') des 
Körpers £1' übergeht, heiße eine Permutation des Körpers £i. Sind 
6', Q" • • • ß {n) die sämtlichen Wurzeln der obigen irreduktiblen Gleichung, 
so entspricht einer jeden von ihnen, ö (r) , eine Permutation P (r) des 
Körpers £2, durch welche jede in ihm enthaltene Zahl co — <p(ß) 
in die konjugierte Zahl co (r} — cp (i9 (r) ) des Körpers ii (r) übergeht. 
Die n mit co konjugierten Zahlen co\ co"--- co {n) sind dann immer die 
Wurzeln einer Gleichung %ten Grades mit rationalen Koeffizienten, 
welche aber nicht notwendig irreduktibel ist. Das Produkt co co"--- co (n) 
aus diesen n Zahlen ist eine rationale Zahl, welche die Norm der 
Zahl co heißt und mit N (co) bezeichnet wird; sie verschwindet nur 
dann, wenn co = 0 ist, und die Norm eines Produkts ist das Produkt 
aus den Normen der Faktoren. Sind ferner cc l ,a 2 ---a n beliebige 
Zahlen des Körpers, so ist das Quadrat der Determinante 
2 | ’ tt (n) 
j- «! a 2 * * • «n ’ 
welche aus den n 2 konjugierten Zahlen oc ( ‘) gebildet ist, ebenfalls eine 
rationale Zahl, welche die Diskriminante des Systems a x , cc a ••• cc n 
heißt und mit z/ (a 1 , cc 2 • • • cc n ) bezeichnet wird; dieselbe ist stets und 
nur dann von 0 verschieden, wenn die Zahlen , « 2 • • • cc n eine Basis 
des Körpers £1 bilden; dies ergibt sich leicht aus dem bekannten 
Satze Qi... ö«-i) = (_ i)V2«(»-VN[f'{6)l 
wo /' (t) die Derivierte der Funktion j (t) bedeutet. 
Alle algebraischen Zahlen, deren Gesamtheit ebenfalls einen 
Körper, aber keinen endlichen Körper bildet, zerfallen nun in ganze 
und in gebrochene Zahlen; eine algebraische Zahl r\ heißt eine ganze 
Zahl, wenn sie die Wurzel einer Gleichung von der Form 
rj m -f 4- c 2 ?j m - 2 H [- c m-lV + = 0 
ist, wo Cj, c 2 • • • c m _ 1? c m ganze Zahlen im alten Sinne des Wortes 
bedeuten, die von nun an immer rationale ganze Zahlen genannt 
werden sollen. Aus dieser Definition, welche wohl die höchste Ver 
allgemeinerung des ursprünglich so beschränkten Begriffes der ganzen 
Zahl enthält, folgt unmittelbar, daß die Summen, Differenzen und 
Produkte von je zwei ganzen Zahlen wieder ganze Zahlen sind, und 
hieran knüpft sich wieder der Begriff der Teilbarkeit der ganzen 
Zahlen: eine ganze Zahl a heißt teilbar durch eine ganze Zahl ß,