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ständnis der nachfolgenden Untersuchungen ist es unerläßlich, an die 
Hauptsätze dieser Theorie kurz zu erinnern. 
1°. Ein System m von unendlich vielen Zahlen des Gebietes o 
heißt ein Ideal, wenn es die beiden folgenden Eigenschaften besitzt: 
I. Die Summen und Differenzen von je zwei Zahlen des Systems m 
sind ebenfalls in nt enthalten. 
II. Jedes Produkt aus einer Zahl des Systems m und aus einer 
Zahl des Systems o ist eine Zahl des Systems m. 
Bedeutet ¡a eine bestimmte, co jede beliebige Zahl in o, so 
kommen diese beiden Eigenschaften offenbar dem System nt aller 
durch (i teilbaren Zahlen (un zu; ein solches Ideal nt heißt ein 
Hauptideal und wird mit o(ja) oder kürzer mit cp oder ¿ao be 
zeichnet*); es bleibt ungeändert, wenn ¿a durch eine mit p asso 
ziierte Zahl ersetzt wird. Ist p eine Einheit, so ist oja — o, und 
umgekehrt. Da die Kongruenz zweier Zahlen «, ß in bezug auf den 
Modulus ¡1 darin besteht, daß die Differenz a — ß dem Ideal ou an 
gehört, so wird man zu der folgenden allgemeineren Definition der 
Kongruenz geführt: 
2°. Zwei Zahlen w, ß heißen kongruent in bezug auf ein 
Ideal m, und dies wird durch die Kongruenz a = ß (mod. in) an 
gedeutet, wenn a — ß eine Zahl des Ideals nt ist; im entgegen 
gesetzten Falle heißen «, ß inkongruent nach nt. Die immer 
endliche Anzahl aller in o enthaltenen, in bezug auf in inkongruenten 
Zahlen heißt die Norm des Ideals nt und wird mit N (nt) be 
zeichnet; die Norm eines Hauptideals o k u ist = + iV (ja); das Haupt 
ideal o ist das einzige Ideal, dessen Norm = 1 ist. 
Die Teilbarkeit einer Zahl u — aß durch eine Zahl a besteht 
darin, daß alle Zahlen ft« — a(ßa)) des Ideals op auch in dem 
Ideal o« enthalten sind; dies veranlaßt zu der folgenden Definition 
der Teilbarkeit der Ideale: 
3°. Ein Ideal nt heißt teilbar durch ein Ideal a oder ein Viel 
faches von a, wenn alle Zahlen des Ideals nt auch dem Ideal a an 
gehören; zugleich heißt a ein Teiler von nt, oder man sagt auch, 
a gehe in nt auf. 
*) Früher habe ich die weniger zweckmäßige Bezeichnung i (/t) angewendet 
(D. § 163). 
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