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«, ß, die nicht beide verschwinden, einen größten gemeinschaftlichen 
Divisor Ö besitzen, welcher in der Form d — «oq ßß 1 darstellbar 
ist, wo «j, ß x ebenfalls ganze Zahlen bedeuten; natürlich kann auch 
hier S durch jeden Gefährten von ö ersetzt werden. 
Das größte Interesse nimmt aber die Bestimmung der Klassen- 
Anzahl h in Anspruch (D. § 167), Die Übertragung der Prinzipien, 
welche Dirichlet bei dem Beweise des Satzes über die arithmetische 
Progression und bei der Bestimmung der Klassen-Anzahl der binären 
quadratischen Formen geschaffen hat, führt zu der Betrachtung un 
endlicher Reihen und Produkte von der Form 
S /(«) = II r~/ö)> 
wo a alle Ideale, p alle Primideale durchläuft, und f(a) eine reelle 
oder komplexe Funktion bedeutet, die der Bedingung /(ab) = /(a)/(b) 
genügt und außerdem so beschaffen ist, daß die unendliche Reihe 
linker Hand eine von der Anordnung ihrer Glieder unabhängige 
endliche Summe besitzt. Diese Bedingungen sind erfüllt, wenn man 
/(o)= fW’ s>i 
nimmt; multipliziert man mit (s — 1) und teilt die Totalsumme in 
h Partialsummen, deren jede einer bestimmten Klasse von Idealen a 
entspricht, so nähern sich diese Summen für unendlich kleine posi 
tive Werte von (5—1) einem gemeinschaftlichen, endlichen, von 
0 verschiedenen Grenzwert <7, der sich nach den fundamentalen Unter 
suchungen Dirichlets über die Einheiten ohne Schwierigkeit be 
stimmen läßt, und man erhält folglich 
g h = lim 2 = Um («- 1) ü ' 
Das Problem der Klassen-Anzahl wird daher gelöst sein, sobald 
es gelingt, den Grenzwert der unendlichen Reihe oder des mit ihr 
identischen Produkts noch auf eine zweite Art, nämlich unmittelbar 
aus der Natur der sämtlichen, dem Körper £1 angehörenden Prim 
ideale p zu bestimmen. Dies ist bis jetzt nur für Kreisteilungs 
körper geglückt (zu welchen auch alle quadratischen Körper ge 
hören), und eine aufmerksame Betrachtung dieser Fälle führt zu der