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Überzeugung — in welcher ich durch meine demnächst zu ver 
öffentlichenden Untersuchungen über die Anzahl der Ideal-Klassen in 
kubischen Körpern bestärkt werde —, daß die allgemeine Lösung 
des Problems der Klassen-Anzahl auf diesem Wege erst dann ge 
lingen wird, wenn die algebraische Konstitution eines jeden Körpers 
und ihr Zusammenhang mit seinen Idealen uns vollständig bekannt 
sein wird — ein Ziel, von welchem wir noch außerordentlich weit 
entfernt sind; außerdem scheint auch eine viel genauere Ausbildung 
der Theorie der transzendenten Funktionen erforderlich zu sein. 
Es ist nun noch mit einigen Worten die Beziehung zwischen 
den Idealen eines Körpers und den zugehörigen zerlegbaren 
Formen zu besprechen (D. § 165). Ist n ein bestimmtes Ideal, so 
gibt es immer n partikuläre, in ci enthaltene Zahlen oc 1? cc 2 ••• «„ 
von der Beschaffenheit, daß die sämtlichen Zahlen oc des Ideals a 
durch den Ausdruck 
a = x l a 1 -\- x 2 a 2 x n a n 
dargestellt werden, wenn die Variabelen x x , x 2 ••• x n alle ganzen 
rationalen Zahlen durchlaufen. Das System der Zahlen cq, a 2 • • • a n 
heißt eine Basis von a. Bildet man das Produkt aus allen n mit 
a konjugierten Ausdrücken, so erhält man 
N(ct) = N(a)X, 
wo X eine homogene Funktion wten Grades von den Variabelen 
x x , x 2 ••• x n bedeutet; die Koeffizienten dieser zerlegbaren Form X 
sind immer ganze rationale Zahlen ohne gemeinschaftlichen Teiler. 
Da das Ideal a unendlich viele verschiedene Basen besitzt, so ent 
spricht demselben eine Klasse von unendlich vielen äquivalenten 
Formen X, welche durch lineare Substitutionen, mit ganzen rationalen 
Koeffizienten gegenseitig ineinander übergehen. Dieselben Formen 
entspringen aber auch aus jedem mit a äquivalenten Ideal, und folg 
lich entspricht jeder Ideal-Klasse eine bestimmte Formen-Klasse. Die 
Multiplikation der Ideale und der Ideal-Klassen führt zu der Kom 
position der Formen und der Formen-Klassen. 
Aber diese Formen X umfassen nur einen unendlich kleinen 
Teil aller möglichen zu dem Körper Si gehörenden Formen. Ver 
steht man nämlich unter der Determinante einer aus n homo 
genen linearen Faktoren f x , f 2 • • • /„ gebildeten Funktion F von