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2°. Zwei Zahlen w, ß heißen kongruent oder inkongruent 
in bezug auf einen Modul m, je nachdem ihre Differenz a — ß in 
m enthalten ist oder nicht; die Kongruenz wird durch u = ß (mod. ra) 
ausgedrückt. Alle mit einer bestimmten Zahl nach nt kongruenten 
Zahlen bilden eine Zahl-Klasse (mod. m). Mehrere Zahlen heißen 
inkongruent (mod. nt), wenn jede derselben mit jeder der übrigen in 
kongruent (mod. nt) ist. Sind a, b zwei beliebige Moduln, so kann 
es sein, daß a nur eine endliche Anzahl inkongruenter Zahlen in be 
zug auf b enthält, und dann soll diese Anzahl durch das Symbol 
(a, b) bezeichnet werden; gibt es aber in ci unendlich viele, in bezug 
auf b inkongruente Zahlen, so soll (n, b) — 0 gesetzt werden, weil 
dann gewisse Determinanten-Sätze allgemein gültig bleiben. In beiden 
Fällen ist 
(o, b) = (o, a — b) = (ft 4- b, b); 
ist a >> b, so ist (a, b) = 1, und umgekehrt. Ist ferner nt >> a > b, 
so ist 
(MO = (M)(a,tii> 
Durch Kombination beider Sätze erhält man viele andere Sätze, die 
hier übergangen werden können. Sind p, 6 zwei gegebene Zahlen, 
so hat das System der beiden Kongruenzen 
co = q (mod. tt), co = ö (mod. b) 
stets und nur dann gemeinschaftliche Wurzeln co, wenn 
q = 6 (mod. a -f- b) 
ist, und die sämtlichen Zahlen co bilden eine bestimmte Zahlklasse 
(mod. u — b). 
3°. Sind a,, a 2 • • • « n Konstanten, während x x , x 2 • • • x n alle 
ganzen rationalen Zahlen durchlaufen, so bilden die sämtlichen, in 
der Form 
« = x x a x -f- x 2 « 2 4- • • ■ 4- x n a n 
darstellbaren Zahlen a einen Modul a, der ein endlicher Modul 
heißen und mit [a v oc 2 ••• cc n \ bezeichnet werden soll; die Konstanten 
a n a 2 ••• a n bilden eine Basis des Moduls a. Der Modul [1] ist 
das System aller ganzen rationalen Zahlen. Wenn alle Zahlen eines 
solchen endlichen Moduls a = [cc x , « 2 • • • a n \ durch Multiplikation 
mit rationalen, von 0 verschiedenen Zahlen in Zahlen eines Moduls b 
verwandelt werden können, so ist (a, b) von 0 verschieden, und a — b