125
wird, dessen Basiszalilen ce v oc a • •• cc n zugleich eine Basis des Körpers Sl
bilden (§1) und folglich voneinander unabhängig sind (§ 2, 4°). Da
hiernach jede Zahl des Körpers Sl durch Multiplikation mit einer
rationalen, von 0 verschiedenen Zahl in eine Zahl des Moduls a ver
wandelt werden kann, so ergibt sich aus den vorhergehenden allgemeinen
Sätzen sehr leicht, daß das kleinste gemeinschaftliche Vielfache, der
größte gemeinschaftliche Teiler, und ebenso das Produkt (und auch
der Quotient) von je zwei solchen Moduln a, i) stets wieder ein solcher
Modul, und daß (a, b) stets von 0 verschieden ist. Versteht man
ferner wie früher, und wie es auch in der Folge stets geschehen
soll, unter o das Gebiet aller ganzen Zahlen des Körpers Sl, so
kommt die Definition eines Ideals m (§ 1, 1°) darauf hinaus, daß m
ein durch o teilbarer Modul ist (I), welcher der Bedingung ont = m
genügt (II); die dortigen Sätze 5°, 6°, 9° enthalten nur noch die
Behauptung, daß das kleinste gemeinschaftliche Vielfache, der größte
gemeinschaftliche Teiler und das Produkt von zwei beliebigen Idealen
wieder Ideale sind; die Norm eines Ideals nt ist = (o, m).
Für die in Aussicht genommene Erweiterung des Ideal-Begriffs
ist nun vor allem die Konstitution der Ordnung o' eines beliebigen
Moduls it = [a x , a 2 •••«„] von Wichtigkeit (§ 2, 6°). Damit eine
Zahl ci der Ordnung o' des Moduls a angehöre, ist offenbar erforder
lich und hinreichend, daß die n Produkte co' cc t , a' « 2 ••• a'a n in a
enthalten sind, daß also
««i = H-«2 a a H f x n a n ,
&’ «2 = x” CC r #2 «2 -{-•••-f- x'nMn,
a'a n = x^a x -f x™ H h ^ u n
ist, wo die n 2 Koeffizienten x sämtlich ganze rationale Zahlen be
deuten. Aus jeder einzelnen dieser Gleichungen folgt zunächst, daß
<a' eine Zahl des Körpers Si ist, und wenn man die n Zahlen a v cc a ■ ■■ cc n
eliminiert, so erhält man
1
2
*2
^n
t f
fr t
ff
x x
1
8
•• x n
xf
x^
V
= o,
d. h. oi' ist eine ganze algebraische Zahl, also in dem Gebiete o ent
halten; mithin ist o' ein Vielfaches von o. Versteht man jetzt für
