127 
o' teilbaren Idealen ein einziges, völlig bestimmtes Ideal f von kleinster 
Norm, und die genannten Ideale sind (nach § 1, 10°) identisch mit 
den sämtlichen Produkten ai, wo a alle Ideale durchläuft. Dieses 
Ideal f soll der Führer der Ordnung o' heißen. Da das Haupt 
ideal o k durch o' und folglich auch durch f teilbat ist, so ist k n als 
Norm von o Je teilbar durch 
N{t) = (o,!) = (o, o')(o', f) == k(o', f). 
Ist der Führer f der Ordnung o' und für jede der (o', f) Zahl 
klassen, aus denen o' besteht, ein Repräsentant gegeben, so ist o' 
vollständig definiert. Nicht jedes Ideal ! kann der Führer einer 
Ordnung sein, sondern hierzu ist eine gewisse Bedingung erforder 
lich, deren Auffindung keine großen Schwierigkeiten darbietet; doch 
würde die Ableitung derselben sowie ein näheres Eingehen auf die 
Konstitution der Ordnungen überhaupt, uns hier zu weit führen. Das 
Gebiet o ist offenbar selbst eine Ordnung und auch zugleich der 
Führer derselben. 
§4. 
Ideale der Ordnung o'. 
Es sei nun o' eine bestimmte Ordnung im Körper ¿i, und i der 
Führer derselben, so wollen wir ein System a' von unendlich vielen 
Zahlen ein Ideal der Ordnung o' oder kürzer ein Ideal in o' 
nennen, wenn es die folgenden drei Bedingungen erfüllt: 
I. Die Summen und Differenzen von je zwei in a' enthaltenen 
Zahlen gehören ebenfalls dem System a' an, d. h. a' ist ein Modul 
im allgemeinsten Sinne des Wortes. 
II. Jedes Produkt aus einer Zahl des Systems a' und aus einer 
Zahl der Ordnung o' ist eine Zahl des Systems a'; d. h, o'a' ist teil 
bar durch a' und folglich auch — a', weil o' ein Teiler von [1] ist. 
III. Der größte gemeinschaftliche Teiler cT -f- f von a' und f 
ist = o'. 
Für den Fall, daß die Ordnung o' identisch mit o ist, geht diese 
Definition eines Ideals a' in o' vollständig in die frühere Definition 
(§ 1, 1°) eines Ideals über, da die dritte Bedingung nur darauf hin 
auskommt, daß a' durch o teilbar ist. Wir werden daher diese Ideale 
künftig, wenn Mißverständnisse zu befürchten sind, Ideale in o zu 
nennen haben. Im folgenden nehmen wir immer an, daß o' von o ver 
schieden ist.