Ist nun a eine beliebige, aber von 0 verschiedene Zahl in a', 
und bilden die n Zahlen «i, co' 2 • • • co' n eine Basis der Ordnung o', so 
sind die n Produkte «'oii, ••• «'n' ni welche (zufolge II) in a' 
enthalten sind, voneinander unabhängig und bilden folglich eine Basis 
des Körpers ii; mithin kann jede Zahl des Körpers durch Multi 
plikation mit einer rationalen, von 0 verschiedenen Zahl in eine Zahl 
des Ideals n' verwandelt werden, woraus wieder leicht folgt, daß a' 
ein endlicher Modul [a x , • • • c4], also ein Modul in dem Sinne 
des § 3 ist. Die Basiszahlen haben die Form 
di — a l co l 4~ «3 C5 2 -p • • • + a'n i 
K 2 — a i 03 1 ®2 ~P ' * ’ ~P a n 
«» = «P 0 ö'i + o' + • • • -f «J 0 «n, 
wo die Koeffizienten ganze rationale Zahlen sind, deren Determinante 
S ± ‘ • a( n = (o', «') 
die Norm des Ideals ci' heißen und mit JV'(a') bezeichnet werden soll. 
Es ergibt sich ferner leicht, daß o' auch die Ordnung des 
Ideals a' ist; in der Tat besteht die letztere, die wir mit o x bezeichnen 
wollen, zufolge ihrer Definition (§ 2, 6°) aus allen Zahlen a 1 , für 
welche a' a 1 > a' wird, und da (nach II) a' o' = a' ist, so ist jeden 
falls o' >> Oj, und es braucht nur noch bewiesen zu werden, daß 
umgekehrt auch o x >► o' ist. Da nun ü' ein endlicher Modul des 
Körpers, und folglich (nach § 3, 1° und 2°) [1] >> o x >> o ist, so 
ergibt sich f[1] > fOj >> io, mithin fo x = f, weil f[l] = fo = f ist; 
da außerdem (nach § 2, 6°) a'o x = a', und (nach III) o' = f -J- a' 
ist, so folgt o'üj — fo x -|- a'o x = !-f n’, also o'o x = o'; nun ist aber 
[1] > o', also auch [1] o, > o'o x , d. h. o x >> o', was zu beweisen war. 
Sind ferner a', b' zwei beliebige Ideale in o', so überzeugt man 
sich leicht, daß a' — b', a' -f- b', a' b' ebenfalls Ideale in o' sind, und 
daß a'b' sowohl durch a' als durch b' teilbar ist. Der Kürze wegen 
beschränke ich mich auf die Betrachtung des Produkts. Da o' a' = a', 
so ergibt sich o'(a'b') = (o'a')b' = a'b', also besitzt a'b' die Eigen 
schaft II. Da ferner b' > o' und o'a' = a' ist, so folgt a'b' >> a'; 
ebenso ist a' b' durch b' teilbar. Da endlich o' == a' -j- i ist, so folgt 
b' = o'b' = a'b' -J- fb', also o' = b' -f- f — a'b' -(- fb' -f- f; da nun 
t = fo, und b' > o ist, so folgt fb' -|- ! = f(b' + o) = fo = f, also 
o' = o'b' 4- f, womit auch die Eigenschaft III für a'b' dargetan ist.