132 
in o' äquivalent sind. Jedes mit o' selbst äquivalente Ideal soll ein 
Hauptideal in o', und der Inbegriff aller dieser Hauptideale soll 
die Hauptklasse in o' beißen und mit 0' bezeichnet werden. Ein 
solches Hauptideal ist daher von der Form o'ft, wo ft in o' ent 
halten ist, weil o'ft durch 0' teilbar sein muß; außerdem muß das 
zugehörige Ideal 00' ft = Oft relatives Primideal zu !, d. h. ft muß 
relative Primzahl zu ! sein (D. § 163, 7.). Umgekehrt, ist die in 0' 
enthaltene Zahl ft relative Primzahl zu f, und ist N (ft) >> 0, so ist 
o'ft offenbar ein Hauptideal in 0'. Nun besteht folgender Satz, von 
welchem wichtige Anwendungen zu machen sind: 
1°. Ist et' ein Ideal in 0', und n' ein durch 0' teilbarer 
Modul, welcher der Bedingung o'n' = n' genügt, so gibt es 
immer ein Ideal b' in 0' von der Art, daß o'b' ein Haupt 
ideal in 0', und b' -j- n' = 0' wird. 
Beweis. Der Modul on' ist ein Ideal in 0, weil er durch 0 
teilbar ist und der Bedingung o(on') = on' genügt. Man zerlege 
nun on' in seine sämtlichen Primideal-Faktoren (§ 1, 12°) und be 
zeichne mit ! x das Produkt aller derjenigen dieser Primideale, welche 
in f aufgehen, mit n x das Produkt aller übrigen, so daß on' = f x iq 
wird. Nun gibt es (§ 1, 14° oder D. § 163, 7.) immer ein Ideal nq 
in 0 von der Art, daß oa'uq = a'nq = 0«, d. h. ein Hauptideal in 
0, und daß zugleich nq -f n x = 0, also o« -f a'n x = oa' wird. Da 
ferner et' ein Ideal in 0', also oa' relatives Primideal zu f ist, so sind 
auch ofl'q = a'n 1 und ff x relative Primideale, und folglich (§ 2, 2° 
oder D. § 163, 7.) gibt es Zahlen ft, welche den beiden gleichzeitigen 
Kongruenzen 
ft = ci(mod, a'n x ), ft = 1 (mod. !! x ) 
genügen; diese Zahlen ft bilden eine bestimmte Zahl-Klasse in bezug 
auf den Modul a'n x f! x = !o'n', und man kann, wie unten nachträg 
lich bewiesen werden soll, die Zahl ft zugleich so wählen, daß 
N (ft) >> 0 wird. Aus der zweiten der beiden vorstehenden Kon 
gruenzen folgt nun, daß ft relative Primzahl zu f! x und folglich auch 
zu f ist; da ferner ff x i> f i> 0', und da die Zahl 1 in der Ordnung 0' 
enthalten ist, so ist zufolge der zweiten Kongruenz auch ft in 0' ent 
halten, und folglich ist 0' ft ein Hauptideal in 0'. Aus der ersten 
Kongruenz folgt ferner mit Rücksicht auf 0« -f a'tq = oa', daß auch 
Oft -f a'tq = oa', und folglich Oft = oa'b = a'b ist, wo b ein Ideal 
in 0, und zwar relatives Primideal zu tq ist. Da ferner 0 ft, und