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§ 7. 
Komposition der IdeaDKlassen. 
Sind o', o" zwei beliebige Ordnungen des Körpers £1, und f, f" 
ihre Führer, so ist offenbar ihr Produkt o'" = o'o” ebenfalls eine 
Ordnung (§ 3), und da o'" ein gemeinschaftlicher Teiler von o', o" 
ist, so muß der Führer f" der Ordnung o'" auch ein gemeinschaft 
licher Teiler von !', f" sein. Ist nun a' ein beliebiges Ideal in o', 
ebenso b" ein beliebiges Ideal in o", so wird a'b" = c'" ein Ideal in 
o'"; denn aus o'a' = a', o"b" = b" folgt o'"c"' = o'o"a'b" = a'b" = c'"; 
aus a' -{- f' = o', b" !" — o" ergibt sich ferner durch Multiplikation 
a'b" + o'f' + !'b" + ff" = o'" 
und hieraus, weil jedes der Ideale a'!", fb", f'f" durch f", und f" 
durch o'" teilbar ist, a'b" -J- f" = o'"; also besitzt der Modul a'b" 
die charakteristischen Eigenschaften eines Ideals in o"' (§ 4), und 
da allgemein bewiesen ist, daß die Ordnung eines Ideals in o' 
identisch mit o' ist, so ergibt sich, daß die Ordnung eines Produkts 
von Idealen gleich dem Produkt aus den Ordnungen der Faktoren ist*). 
Ist a' ein Repräsentant der Ideal-Klasse A' in o', und b" ein 
Repräsentant der Ideal-Klasse B" in o", so ist jedes Produkt von 
zwei beliebigen Idealen in A\ B" von der Form a'(i-h"v — a'b"(jav), 
also ein mit a'b” äquivalentes Ideal; alle diese Produkte gehören 
daher einer und derselben Ideal-Klasse in o'" an, welche (wie bei 
den Moduln) die aus A\ B" zusammengesetzte Klasse oder das 
Produkt aus A\ B” heißen und mit A'B" bezeichnet werden soll. 
Bedeuten A, B, G beliebige Ideal-Klassen beliebiger Ordnungen, so 
ist offenbar AB = BA, (AB)C = A{BG). 
Von dieser allgemeinsten Komposition der Ideal-Klassen aller 
Ordnungen kehren wir zurück zu der Betrachtung der Ideal-Klassen 
einer einzigen Ordnung o'; jedes Produkt von solchen Klassen ge 
hört derselben Ordnung o' an, weil o' 2 == o' ist. Da das Produkt 
o'^i-a' = ¿aa' aus einem Hauptideal o'fi und einem beliebigen Ideal a' 
*) Wenn, wie es bei den quadratischen Körpern der Fall ist, jede Modul- 
Klasse auch Ideale enthält, so gilt der obige Satz auch für Produkte aus Moduln; 
aber schon bei kubischen Körpern gibt es Moduln, welche keinem Ideale äqui 
valent sind, und der obige Satz darf nicht mehr auf alle Produkte von Moduln 
übertragen werden. Auf diese wichtige Frage werde ich bei einer anderen Ge 
legenheit zurückkommen.