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§9. 
Bestimmung 
des Verhältnisses m der Klassen*Anzahlen h' und ln. 
Es sei M' eine bestimmte Klasse der Gruppe 9Ji', und m' ein 
bestimmter Repräsentant von M'. Da OM' = 0 ist, so ist om' ein 
Hauptideal in o, also von der Form o/i, wo /a eine ganze Zahl von 
positiver Norm, und zwar relative Primzahl zu ! ist, wo ! wieder 
den Führer der Ordnung o' bedeutet. Umgekehrt, ist /a eine solche 
Zahl, so ist o/a ein Hauptideal in o und relatives Primideal zu i, 
mithin gibt es (§ 5, 2°) ein und nur ein Ideal m' in o', welches der 
Bedingung om' = o/a genügt, und wenn M' die durch m' repräsen 
tierte Ideal-Klasse in o' bedeutet, so ist OM' — 0\ jeder be 
stimmten Zahl /a von der angegebenen Beschaffenheit entspricht da 
her auf diese Weise eine und nur eine Ideal-Klasse M\ welche der 
Gruppe 20?' angehört. Auf diese Korrespondenz bezieht sich der 
folgende Satz; 
Sind /a, /a x ganze Zahlen von positiver Norm und rela 
tive Primzahlen zu f, so besteht die erforderliche und hin 
reichende Bedingung dafür, daß beiden Zahlen eine und 
dieselbe Klasse M' der Gruppe 20?' entspreche, in der Kon 
gruenz 
/a x = /asm' (mod. !), 
wo e eine Einheit in o, und cj' eine in o' enthaltene relative 
Primzahl zu f bedeutet, deren Normen beide positiv sind. 
Beweis. Ist m' — o' — o/a das Ideal in o', welches dem Ideal o/a 
entspricht und folglich der Bedingung o m' = o /a genügt, so kann man, 
weil m' + ! = o' ist, eine Zahl /a' so wählen, daß /a' = 0 (mod. m') 
und /a' = 1 (mod. f) wird (§ 2, 2°); auch leuchtet ein, daß zugleich die 
Bedingung N (/a') >> 0 erfüllt werden kann (§ 6, 2°). Dann ist o' /a' 
ein durch nt' teilbares Hauptideal in o', weil o'/a' -(- f — o' ist, und 
folglich gibt es ein Ideal n' in o', welches der Bedingung m' n' = o' /a' 
genügt und folglich der inversen Klasse M'— 1 angehört. Hieraus 
folgt durch Multiplikation mit o, daß o/a' = on'/a, also /a' durch /a 
teilbar ist; setzt man /a' = /av, so ist v eine ganze Zahl von posi 
tiver Norm und relative Primzahl zu f, weil /av = /a' = 1 (mod. f) 
ist; zugleich wird o/av = on'/a, und folglich on' = ov.