Wenn nun das dem Ideal o^ x entsprechende Ideal m x = o' — 0(i t 
derselben Klasse M' angehört, wie m', so ist auch m'n' ein Haupt 
ideal in o', also tn'n' = o' co', wo co' eine Zahl in o' von positiver 
Norm und relative Primzahl zu f ist. Multipliziert man mit o und 
berücksichtigt, daß out' = o/x x und on' = ov ist, so folgt o^v = oa/, 
und hieraus [i x v = eco', wo s eine Einheit in o bedeutet, deren Norm 
= 4-1 sein muß, weil die Normen der Zahlen p v v, co' positiv sind. 
Multipliziert man mit [i, so ergibt sich die zu beweisende Kongruenz, 
weil [iv = [i' = 1 (mod. f) und of = f ist. 
Umgekehrt, wenn diese Kongruenz, in welcher [i, p v s, co' die 
in dem Satze angegebene Bedeutung haben, erfüllt ist, so folgt durch 
Multiplikation mit vs~ 1 die Kongruenz 
v[i 1 s~ 1 = ca' (mod. !), 
aus welcher hervorgeht, daß die ganze Zahl a — v^s -1 , welche 
relative Primzahl zu f ist und eine positive Norm besitzt, der Ord 
nung o' angehört, und folglich ist o'a ein Hauptideal in o'. Da nun 
ov — on' und 0[i 1 s~ 1 = o[i t = ont x ist, so folgt o(oV) = o(n'm x ), 
also auch o'a = n'm x (§ 5, 1°), mithin gehören die Ideale n', m x zu 
entgegengesetzten Klassen, d. h. das dem Ideal Oft x entsprechende 
Ideal m' x ist äquivalent mit nt', was zu beweisen war. 
Mit Hilfe dieses Satzes ist es leicht, die Anzahl m der in der 
Gruppe W enthaltenen Klassen M’ zu bestimmen. Wir bezeichnen 
mit t^(f) die Anzahl aller der in o enthaltenen Zahlen co, welche in 
kongruent in bezug auf den Modul f und zugleich relative Prim 
zahlen zu ! sind; diese Anzahl ist (D. § 163, 7.) 
^(f) = AT(t)n( 1 
wo das Produktzeichen TL sich auf alle verschiedenen, in t auf 
gehenden Primideale q bezieht. Die Repräsentanten co selbst können 
(nach § 6, 2°) immer so gewählt werden, daß sie positive Normen 
haben. Wenn eine dieser Zahlen (wie z. B. die Zahl 1) in o' ent 
halten ist, so gehören auch alle mit ihr kongruenten Zahlen der 
Ordnung o' an, weil ! durch o' teilbar ist; die Anzahl dieser nach f 
inkongruenten Zahlen co' oder der zugehörigen Zahlklassen ist eben 
falls als bekannt anzusehen, sobald o' gegeben ist, und soll mit 
bezeichnet werden. Da o' 2 = o' ist, so ist das Produkt aus je zwei 
Repräsentanten dieser Zahlklassen immer wieder einem solchen Re-