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§ io. 
Umformung des Resultates. 
Es ist nun noch von Wichtigkeit, die Anzahl s in bestimmter 
Weise darznstellen, und hierzu gelangt man mit Hilfe der in der 
Einleitung erwähnten Theorie der Einheiten von Dirichlet, welche 
ich zu diesem Zwecke in etwas verallgemeinerter Form dargestellt 
habe (D. § 166), Wir fragen zunächst: wie müssen zwei Einheiten g, g 0 
von positiver Norm beschaffen sein, damit die oben mit (g), (g 0 ) be- 
zeichneten Komplexe identisch ausfallen? Offenbar ist hierzu er 
forderlich, daß s = £ 0 a' (mod. !) sei, wo co' eine der Ordnung o' 
angehörende Zahl bedeutet; mithin muß gg~ x = co' (mod. t), also 
g — g'g 0 sein, wo g' = gg“ 1 eine der Ordnung o' angehörende Ein 
heit von positiver Norm bedeutet; und es leuchtet unmittelbar ein, 
daß diese Bedingung g = g'g 0 auch hinreichend ist, daß sie also 
die Identität der Komplexe (g), (g 0 ) zur Folge hat. Bezeichnet man 
daher, wie oben, mit (g,), (g 2 ) • • • (g s ) die sämtlichen s verschiedenen 
Komplexe von der Form (g), so ergibt sich, daß man alle Einheiten g 
der Ordnung o, und jede nur ein einziges Mal erhält, wenn man 
jede der s partikulären Einheiten g x , g 2 • • • g Ä mit allen Einheiten g' 
der Ordnung o' multipliziert. Hieraus folgt zunächst, daß die s-te 
Potenz £ s einer jeden Einheit g in o immer eine Einheit g' in o' ist, 
weil die s Komplexe (g g x ), (g g 2 ) • • • (g g s ) notwendig mit den Kom 
plexen (gj), (g 2 ) • • • (g s ), wenn auch in anderer Ordnung, überein 
stimmen müssen, und weil folglich das Produkt 
g £% ’ g ^2 * £ ^ ^i ¿2 
von der Form g'.g 1 g 3 *-*g i ist, wo g' eine Einheit der Ordnung o' 
bedeutet. 
Wir müssen nun das Hauptresultat der Theorie der Einheiten 
kurz in Erinnerung bringen. Es sei v die Gesamtanzahl der (2v — n) 
reellen Wurzeln und der (n — v) Paare von je zwei konjugiert-imagi- 
nären Wurzeln a + bi der irreduktiblen Gleichung /(0) = 0, aus 
welcher der Körper £1 entsprungen ist (§ 1); behält man von jedem 
Paare imaginärer Wurzeln nur die eine bei, so bleiben v Wurzeln 
übrig, die mit 
0', 0" • • • @ (v) 
bezeichnet werden mögen. Ist nun £ — cp (0) eine beliebige Einheit 
des Körpers ii, so soll durch das Symbol Z'(g) der reelle Teil des