155 
ganze rationale Zahlen werden; und umgekehrt leuchtet ein, daß 
jedes dem Gebiet 0 angehörende Wertsystem h 2 • • • h n , welches 
dieser letzten Bedingung genügt, rückwärts ein System von ganzen 
rationalen Zahlen z 1 , z a • • • z n und dadurch eine Zahl (i der Linear 
form (I) heryorbringt, welche auch den Bedingungen (II), (III), (IY) 
genügt. Mithin ist T die Anzahl derjenigen dem Gebiet O an 
gehörenden Wertsysteme h x , Ä 3 • • • h n , für welche die Quotienten 
h r — hi \ — h\ h n — hn 
8 ’ 8 8 
ganze rationale Zahlen werden. Wächst nun t über alle Grenzen, so 
wird 8 unendlich klein, und aus dem Begriffe eines w-fachen be 
stimmten Integrals ergibt sich, daß 
lim (T 8 n ) — k n lim = J dh x d\ • • • dh n = g 
ist, mögen die Größen hl, hl • • • h Q n von 8 unabhängig sein oder nicht. 
Nach einem Fundamentalsatze von Dirichlet (D. § 118) folgt hier 
aus, daß die auf alle Zahlen g der einen Linearform (I) ausgedehnte 
Partialsumme 
1 
r' ^ N (g,) s 
für alle positiven Werte von (5 — 1) konvergiert und für unendlich 
kleine Werte von (s— 1) sich dem Grenzwerte 
1 lim (-) = » = 
r \tj k n r k n + 1 N' (m') V ± D 
nähert. Da derselbe von den Zahlen a 1? a 2 • • • a n , welche diese eine 
Linearform charakterisieren, gänzlich unabhängig ist, und da die Anzahl 
der Partialsummen, aus welchen die bis jetzt von uns betrachtete 
Summe 8" besteht, 
k n+1 
ist, so erhalten wir das Resultat 
lim$" = lim 
^ — 
^ N' (aj 
i>' (!) 6 E (o') 
Nfl'Wlm') VT3' 
wo links die Summe über alle durch m' teilbaren Hauptideale 
der Ordnung 0' ausgedehnt ist.