§ 13. 
Resultat dieser Methode. 
Mit Hilfe des eben bewiesenen Satzes ist es leicht, unsere Auf 
gabe zu lösen. Nimmt man m' = o', also N’ (m') = 1, so ergibt sich 
lim 'ST' s ^ ^ (1) <? E (o ) 
^ N'(ay — N®'f±D' 
wo die Summe links über alle Ideale a' ausgedehnt ist, welche der 
Hauptklasse 0' der Ordnung o' angehören. 
Nun sei B' eine beliebige Ideal-Klasse der Ordnung o', und m' 
ein bestimmtes Ideal der inversen Klasse Durchläuft b' alle 
Ideale der Klasse B\ während nt' unverändert bleibt, so werden die 
Produkte b'm' lauter Hauptideale a' der Ordnung o', welche durch m' 
teilbar sind; und umgekehrt, ist a' ein durch m' teilbares Haupt 
ideal der Ordnung o', so gibt es (nach § 5, 3°) ein und nur ein 
Ideal b' in o' von der Art, daß b'm' = a' wird, und b' muß not 
wendig der Klasse B' angehören, weil m' ein Ideal der inversen 
Klasse ist. Da außerdem iV'(b'm') = W'(b')iV'(m') ist, so ist die 
über alle Ideale b' der Klasse B' ausgedehnte Summe 
^ WJyy = N ^ ^ N' {ay ’ 
wo a' alle durch m' teilbaren Hauptideale der Ordnung o' durch 
läuft. Hieraus ergibt sich nach dem Schlußsatz des vorigen Para 
graphen für unendlich kleine positive Werte von (s — 1) 
lim ^ S ~ 1 — !Ü9 
^ N’{hy ~ N(f) * VT^D’ 
d. h. der Grenzwert der über alle Ideale einer beliebigen Klasse 
in o' ausgedehnten Summe ist für jede Klasse derselbe, und zwar 
offenbar von 0 verschieden. 
Für den Spezialfall, in welchem o' das Gebiet o aller ganzen 
Zahlen des Körpers £i ist, ergibt sich hieraus, weil 
i = o, N(f) = ^'(i) = 1 
wird, und weil die Anzahl h aller Ideal-Klassen der Ordnung o end 
lich ist (D. § 164), das Resultat 
lim S — lim ^ 
s — 1 
h 
öE(o) 
N{ay V+i)’ 
wo die Summe über alle Ideale a der Ordnung o auszudehnen ist.