ng. 
veröffentlichten 
ins von 1883); 
— gedacht als 
icinteilung eine 
de liegt, wenn 
ds der Klassen- 
Form; auch die 
)ch etwas kom- 
;h. Ann., Bd. 48, 
ersten Male auf 
el weitergehend 
5d. 49, S. 83 ff.). 
daß zum ersten 
Zuordnung von 
ntwickelten Se 
iner Zuordnung 
• Durchschnitts- 
le spielen (vgl. 
;e, Math. Ann., 
Voether. 
XIII. 
Erläuterungen zu zwei Fragmenten von Riem ann. 
[Bernhard Riemanns gesammelte mathematische Werke und wissenschaftlicher 
Nachlaß, 2. Aufl., S. 466—478 (1892)]. 
Die Entstehungszeit (September 1852) des ersten der beiden 
Fragmente [*)] macht es wahrscheinlich, daß Riemann darauf aus 
ging, für die Abhandlung über die trigonometrischen Reihen [**)] Bei 
spiele von Funktionen zu finden, die unendlich oft in jedem Intervall 
unstetig werden, und vielleicht sollte die zweite Untersuchung [***)], 
welche sich auf einem kaum leserlichen Blatte findet, demselben 
Zwecke dienen. Die hier von Riemann benutzte Methode zur Be 
stimmung des Verhaltens der in der Theorie der elliptischen Funk 
tionen auf tretenden Modulfunktionen für den Fall, daß das komplexe 
Periodenverhältnis . , 
m K % lo Q <1 
( ^ K ~ Tii 
sich einem rationalen Werte nähert, gestattet aber zugleich eine sehr 
interessante Anwendung auf die sogenannte Theorie der unendlich 
vielen Formen der ft-Funktionen, nämlich auf die Bestimmung der 
bei der Transformation erster Ordnung auf tretenden Konstanten, 
welche bekanntlich von Jaco bi und Hermite auf die Gaußschen 
Summen, also auf die Theorie der quadratischen Reste zurückgeführt 
ist. Die Darstellung dieses Zusammenhangs bildet den Gegenstand 
der folgenden Erläuterungen. 
Den Mittelpunkt der Theorie dieser Modulfunktionen, welche 
man auch ganz unabhängig von der der elliptischen Funktionen auf- 
stellen kann, und welche seit dem Erscheinen der ersten Auflage 
von Riemanns Werken der Gegenstand zahlreicher Untersuchungen 
geworden ist, bildet in gewissem Sinne die Funktion 
(2) v (a) : 
wo zur Abkürzung 
(3) 
l 24 7T(1 — 1"") = q 12 n{\ — 3 ar) j 
1®, also q = 1 2 
o2 71 i z 
[*) B. Riemanns ges. mathem. Werke usw., 2. Anfl., S. 455—461.] 
[**) B. Riemanns ges. mathem. Werke usw., 2. Aufl., S. 227—264.] 
[***) B. Riemanns ges. mathem. Werke usw., 2. Aufl., S. 461—465.]