wo \aß\ den absoluten Wert von aß bedeutet. Mit Zuziehung des
letzteren Satzes, welcher in naher Beziehung zu dem Reziprozitäts
satz in der Theorie der quadratischen Reste steht, kann man der
Gleichung (11) auch die Form
(20) (oe, ß, y, d) = 2y(a, ß) -f 2 d (ß, a) — (ay -f ßd)±Sad
geben, wo das Amrzeichen + so zu wählen ist, daß der ab
solute Wert von aß wird; hierdurch erscheint die zuerst in (10)
auf tretende Zahl (a, ß, y, d) wieder in Form einer ganzen Zahl.
Es leuchtet nun ein, daß die beiden Sätze (18) und (19) nicht
nur die früheren Eigenschaften (13) bis (16) in sich schließen, sondern
auch ausreichen, um in jedem Falle den Wert des Symbols (cc, ß)
durch eine Kettenbruch-Entwicklung vollständig, und zwar als ganze
Zahl zu bestimmen. Dies geht schon aus dem Satze
(21) (cc, a 4- ß) = (cc, ß) — (ß, a) -f- ß — a, wenn aß >* 0,
hervor, welcher leicht aus (18) und (19) abgeleitet wird; und um
gekehrt leuchtet ein, daß dieser Satz (21) in Verbindung mit (18),
d. h. mit dem Satze
(22) (a, ß) — (a, ß), wenn a = a (mod. ß),
ebenfalls die vollständige Bestimmung des Symbols (a, ß) enthält und
eine sehr bequeme Berechnung einer Tabelle liefert. Es ist endlich
sehr zweckmäßig, dem Symbol (a, ß) auch dann eine bestimmte Be
deutung beizulegen, wenn die ganzen Zahlen a, ß nicht relative
Primzahlen sind, sondern einen beliebigen (positiven) größten gemein
samen Teiler p haben; in diesem Falle setzen wir
( 23 ) («. P) = P (^. J),
weil dann offenbar die beiden Sätze (21), (22) ungeändert bestehen
bleiben, während freilich das erste Glied 1 auf der rechten Seite des
Satzes (19) durch p 2 zu ersetzen ist; aber in den beiden Sätzen (21),
(22) ist jetzt auch ohne Zuziehung von (23) die vollständige Be
stimmung von (a, ß) enthalten, und sie gelten sogar für den Fall
a = ß = 0, wenn
(24) (0, 0) = 0
gesetzt wird. Durch diese Erweiterung des Symbols (a, ß) gelingt
es oft, solche Sätze, die sonst in verschiedene Fälle zerfallen würden,
in einem einzigen Ausspruch zu vereinigen (vgl. die in (28), (34) ent
haltenen Sätze).
