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Zuziehung des 
i Reziprozitäts 
kann man der 
j) ~h 3 ad 
+ der ab- 
zuerst in (10) 
uzen Zahl, 
und (19) nicht 
dießen, sondern 
Symbols (ot, ß) 
üwar als ganze 
aß > 0, 
vird; und um- 
düng mit (18), 
1), 
ß) enthält und 
Es ist endlich 
bestimmte Be- 
nicht relative 
größten gemein- 
,ndert bestehen 
chten Seite des 
len Sätzen (21), 
ollständige Be- 
r für den Fall 
(«, ß) gelegt 
irfallen würden, 
i (28), (34) ent 
Obgleich nun das Symbol (cc, ß) durch die Eigenschaften (21), 
(22) für jedes Paar von ganzen rationalen Zahlen oc, ß vollständig 
bestimmt ist, so würde es doch schwer sein, aus ihnen einen all 
gemeinen Ausdruck für dasselbe abzuleiten. Mit Hilfe der von Rie- 
mann in dem zweiten Fragment angewandten Methode gelingt es 
aber, einen solchen Ausdruck in Form einer endlichen Summe auf 
zustellen. Diese Methode besteht in der Untersuchung des Verhaltens 
der Modulfunktionen, wenn a = x -\- yi sich einem rationalen, in 
den kleinsten Zahlen ausgedrückten Bruche annähert. Geschieht 
diese Annäherung in der Weise, daß a ßx unendlich klein von 
höherer Ordnung wird als V 2/, so wird die Ordinate der in dem 
Satze (12) auftretenden Größe 
y -f- 8a 8 1 
01 a -f- ß a ß ß (a + ß a) 
positiv unendlich groß, mithin nach (4) 
log yi (ojj) 
a 1 m 
= 0, 
m 
+ {%{-(«+ ß*f] = 
also 
^’ I(ra) + i2« a+/ 3 ra ) ■ 4-1 12 ß 
ersetzt man, um sich der Bezeichnung von Riemann zu nähern, 
a, ß durch —m, n, so kann man diesen Satz so aussprechen: Nähert 
sich die Variable a — x -j- yi dem irreduzibelen Bruche m:n 
so an, daß n x — m von höherer Ordnung unendlich klein wird als 
V>, so wird zuletzt 
(25) logr}(a) + 
vö ^ v + \-log\-~(na-nif 
12 n(na-m) 4 1 v ' 
m — 2 (w, n) 
12 n 
m. 
Unterwirft man aber die Annäherung der schärferen Bedingung, daß 
nx — m von höherer Ordnung unendlich klein wird als i/ 2 , so ver 
schwinden gleichzeitig die imaginären Bestandteile des zweiten und 
dritten Gliedes links, und folglich ergibt sich durch Subtraktion der 
konjugierten Größen der Annäherungssatz 
(26) log r] (o) — log rj (— a) — —— 2 ( m ’ n ) 
D Ti 
m. 
welcher zufolge der obigen Erweiterung des Symbols (m, n) auch 
dann gilt, wenn die ganzen Zahlen m, n irgendwelchen gemein 
samen Teiler haben.